Pondichéry 2012. Enseignement spécifique

EXERCICE 3

1. 1. Soit $n\in\mathbb{N}$. La fonction $f_n$ est continue et positive sur $[0,1]$. Donc, $I_n$ est l'aire du domaine du plan $\mathscr{D}_n$ délimité par les droites d'équations respectives $x=0$ et $x=1$ d'une part, l'axe des abscisses et la courbe représentative de la fonction $f_n$ d'autre part.

      Il semble que pour chaque entier naturel $n$, le graphe de $f_n$ soit au-dessus du graphe de $f_{n+1}$ sur $[0,1]$ et donc que l'aire du domaine $\mathscr{D}_n$ soit plus grande que l'aire du domaine $\mathscr{D}_{n+1}$.

      En résumé, il semble que pour tout entier naturel $n$, $I_{n+1}\leqslant I_n$ ou encore, il semble que la suite $(I_n)$ soit décroissante.

   
   
   2. Soit $n\in\mathbb{N}$. \begin{align*} I_n-I_{n+1}&=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{e^{-nx}}{1+x}\;dx-\dint{0}{1}\dfrac{e^{-(n+1)x}}{1+x}\;dx=\displaystyle\int_{0}^{1}\left(\dfrac{e^{-nx}}{1+x}-\dfrac{e^{-(n+1)x}}{1+x}\right)\;dx\;(\text{par linéarité de l'intégrale})\\ &=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{e^{-nx}-e^{-(n+1)x}}{1+x}\;dx=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{e^{-nx}(1-e^{-x})}{1+x}\;dx. \end{align*}

      Soit $x\in[0,1]$. On a $e^{-nx}\geqslant0$ et $\dfrac{1}{1+x}\geqslant0$. Ensuite, $-x\leqslant0$ et donc $e^{-x}\leqslant1$ puis $1-e^{-x}\geqslant0$. Finalement,

      $\dfrac{e^{-nx}(1-e^{-x})}{1+x}\geqslant0$.

      Ainsi, pour tout réel $x$ de $[0,1]$, $\dfrac{e^{-nx}(1-e^{-x})}{1+x}\geqslant0$.

      Par positivité de l'intégrale, on en déduit que $\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{e^{-nx}(1-e^{-x})}{1+x}\;dx\geqslant0$ ou encore que $I_n-I_{n+1}\geqslant0$ ou enfin que $I_{n+1}\leqslant I_n$.

      On a montré que pour tout entier naturel $n$, $I_{n+1}\leqslant I_n$ et donc que

      la suite $(I_n)$ est décroissante.



2. 1. Soit $n\in\mbn$. Soit $x\in[0,1]$. Alors $1+x\geqslant1$ puis $\dfrac{1}{1+x}\leqslant1$. En multipliant les membres de cette inégalité par le réel positif $e^{-nx}$, on obtient $\dfrac{e^{-nx}}{1+x}\leqslant e^{-nx}$.

      En multipliant les deux membres de l'inégalité $\dfrac{1}{1+x}\leqslant1$ par le réel positif $\dfrac{e^{-nx}}{1+x}$, on obtient aussi

      $\dfrac{e^{-nx}}{(1+x)^2}\leqslant\dfrac{e^{-nx}}{1+x}$.

      Enfin, $\dfrac{e^{-nx}}{(1+x)^2}\geqslant0$ et on a montré que

      pour tout $n\in\mbn$ et tout $x\in[0,1]$, $0\leqslant\dfrac{e^{-nx}}{(1+x)^2}\leqslant\dfrac{e^{-nx}}{1+x}\leqslant e^{-nx}$.

   
   
   2. D'après la question précédente et par positivité et croissance de l'intégrale, pour tout entier naturel $n$ on a $0\leqslant\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{e^{-nx}}{(1+x)^2}\;dx\leqslant\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{e^{-nx}}{1+x}\;dx\leqslant\displaystyle\int_{0}^{1}e^{-nx}\;dx$.

      Mais pour tout entier naturel non nul $n$,

      $$\displaystyle\int_{0}^{1}e^{-nx}\;dx=\left[\dfrac{e^{-nx}}{-n}\right]_0^1=\dfrac{e^{-n}}{-n}-\dfrac{1}{-n}=\dfrac{1-e^{-n}}{n}.$$

      En résumé, pour tout entier naturel non nul $n$,

      $$0\leqslant J_n\leqslant I_n\leqslant\dfrac{1-e^{-n}}{n}.\quad(*)$$

      On sait que $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}e^{-n}=\displaystyle\lim_{X\rightarrow-\infty}e^{X}=0$ et d'autre part, $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{n}=0$. Par suite, $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{n}(1-e^{-n})=0\times(1-0)=0$.

      Les inégalités $(*)$ montrent que pour tout entier naturel non nul $n$, on a $0\leqslant I_n\leqslant\dfrac{1}{n}(1-e^{-n})$. Le théorème des gendarmes permet alors d'affirmer que la suite $(I_n)$ converge et que

      $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}I_n=0$.

      Les inégalités $(*)$ montrent aussi que pour tout entier naturel non nul $n$, on a $0\leqslant J_n\leqslant I_n$. Le théorème des gendarmes permet alors d'affirmer que la suite $(J_n)$ converge et que

      $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}J_n=0$.



3. 1. Soit $n$ un entier naturel. Pour tout réel $x$ de $[0,1]$, $f_n(x)=e^{-nx}\times\dfrac{1}{1+x}$.
      $f_n$ est dérivable sur $[0,1]$ et pour tout réel $x$ de $[0,1]$, $$f_n'(x)=(-n)e^{-nx}\times\dfrac{1}{1+x}+e^{-nx}\times\left(-\dfrac{1}{(1+x)^2}\right)=-n\dfrac{e^{-nx}}{1+x}-\dfrac{e^{-nx}}{(1+x)^2}=-nf_n(x)-g_n(x).$$
   
   
   2. Soit $n\geqslant1$. En intégrant l'égalité précédente et par linéarité de l'intégrale, on obtient \begin{align*} -nI_n-J_n&=-n\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{e^{-nx}}{1+x}\;dx-\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{e^{-nx}}{(1+x)^2}\;dx=\displaystyle\int_{0}^{1}\left(-nf_n(x)-g_n(x)\right)dx\\ &=\displaystyle\int_{0}^{1}f_n'(x)\;dx=\left[f_n(x)\right]_0^1\\ &=\dfrac{e^{-n}}{1+1}-\dfrac{e^0}{0+1}=\dfrac{e^{-n}}{2}-1 \end{align*}

      Ainsi, $-nI_n-J_n=\dfrac{e^{-n}}{2}-1$ ou encore $I_n=\dfrac{1}{n}\left(1-\dfrac{e^{-n}}{2}-J_n\right)$. On a montré que

      pour tout entier naturel non nul $n$, $I_n=\dfrac{1}{n}\left(1-\dfrac{e^{-n}}{2}-J_n\right)$.

   
   
   3. Pour tout entier naturel non nul, $nI_n=1-\dfrac{e^{-n}}{2}-J_n$. Puisque $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}e^{-n}=0$ et que $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}J_n=0$ (d'après la question 2)b)), on en déduit que

      $\dlim{n}{+\infty}nI_n=1$.