Rochambeau 2012. Enseignement de spécialité

EXERCICE 4

Partie A

Posons $z=x+iy$ et $z'=x'+iy'$ où $x$, $y$, $x'$ et $y'$ sont quatre réels.

Par identification des parties réelles et imaginaires, on obtient

$\left\{ \begin{array}{l} x'=-5y+4\\ y'=5x+6 \end{array} \right.$.

Partie B

1. 1. Notons $(E)$ l'équation considérée. Puisque $4\times2+3\times(-1)=8-3=5$, le couple $(a_0,b_0)=(2,-1)$ est une solution particulière de l'équation $(E)$.

      Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs.

      $4a+3b=5\lra4a+3b=4a_0+3b_0\lra4(a-a_0)=3(b_0-b)$.\quad$(*)$

      Si le couple $(a,b)$ est une solution de $(E)$, alors l'entier $3$ divise $3(b_0-b)=4(a-a_0)$.
      Puisque les entiers $3$ et $4=2^2$ sont premiers entre eux (car sans facteur premier commun), le théorème de \textsc{Gauss} permet d'affirmer que l'entier $3$ divise $a-a_0$.
      De même, l'entier $4$ divise $b_0-b$. Par suite, il existe deux entiers relatif $k$ et $k'$ tels que $a-a_0=3k$ ou encore $a=a_0+3k$ et $b_0-b=4k'$ ou encore $b=b_0-4k'$.

      Réciproquement, soient $k$ et $k'$ deux entiers relatifs puis $a=a_0+3k$ et $b=b_0-4k'$.

      $4a+3b=5\Leftrightarrow 4(a_0+3k)+3(b_0-4k')=5\Leftrightarrow 4a_0+3b_0+12(k-k')=5\Leftrightarrow 12(k-k')=0\Leftrightarrow k=k'$.

      Les couples $(a,b)$ d'entiers relatifs tels que $4a+3b=5$ sont les couples de la forme $(2+3k,-1-4k)$, $k\in\mbz$.

   
   
   2. Soient $x'$ et $y'$ deux entiers relatifs. \begin{align*} -3x'+4y'=37&\Leftrightarrow -3(-5y+4)+4(5x+6)=37\Leftrightarrow 5(4x+3y)=37+12-24\Leftrightarrow 5(4x+3y)=25\Leftrightarrow 4x+3y=5\\ &\Leftrightarrow \text{il existe un entier relatif}\;k\;\text{tel que}\;x=2+3k\;\text{et}\;y=-1-4k. \end{align*}

      Soit alors $k$ un entier relatif.

      $-3\leqslant2+3k\leqslant5\Leftrightarrow -5\leqslant3k\leqslant3\Leftrightarrow -\dfrac{5}{3}\leqslant k\leqslant1\Leftrightarrow -1\leqslant k\leqslant1$,

      et

      $-3\leqslant-1-4k\leqslant5\Leftrightarrow -2\leqslant-4k\leqslant6\Leftrightarrow -\dfrac{6}{4}\leqslant k\leqslant\dfrac{2}{4}\Leftrightarrow -1\leqslant k\leqslant0$.

      En résumé, le point $M$ de coordonnées $(2+3k,-1-4k)$ est un point de $(E)$ si et seulement si $k=-1$ ou $k=0$.
      Si $k=-1$, on obtient le point de coordonnées $(-1,3)$ et si $k=0$, on obtient le point de coordonnées $(2,-1)$.

      Il existe exactement deux points de $(E)$ tel que $-3x'+4y'=37$ : les points de coordonnées $(-1,3)$ et $(2,-1)$.



2. 1. $x'+y'=-5y+4+5x+6=5x-5y+10=5(x-y+2)$. Puisque $x-y+2$ est un entier relatif, ceci montre que $x'+y'$ est un multiple de $5$.
   
   
   2. $(x'+y')-(x'-y')=2y'$ et donc $(x'+y')-(x'-y')\equiv 0\;(\text{modulo}\;2)$ ou encore $x'+y'\equiv x'-y'\;(\text{modulo}\;2)$.

      Supposons que $x'^2-y'^2$ soit un multiple de $2$.

      Si $x'-y'\not\equiv0\;(\text{modulo}\;2)$ alors $x'-y'\equiv1\;(\text{modulo}\;2)$ puis $x'+y'\equiv1\;(\text{modulo}\;2)$ d'après la question précédente.
      Mais alors $(x'-y')(x'+y')\equiv 1\times1\;\;(\text{modulo}\;2)$ ou encore $x'^2-y'^2\equiv1\;(\text{modulo}\;2)$.
      Ceci est une contradiction et donc $x'-y'\equiv0\;(\text{modulo}\;2)$ puis $x'+y'\equiv0\;(\text{modulo}\;2)$ puisque $x'-y'$ et $x'+y'$ sont congrus modulo $2$.

   
   
   3. Soit $M$ un point de $(E)$ tel que $x'^2-y'^2=20$. Alors, $x'=-5y+4$ et $y'=5x+6$ sont deux entiers relatifs.
      Ensuite, $x'^2-y'^2$ est pair et donc $x'-y'$ et $x'+y'$ sont pairs d'après la question précédente. D'autre part, $x'+y'$ est un multiple de $5$ d'après la question a).
      Puisque $x'+y'$ est un multiple des nombres premiers $2$ et de $5$, $x'+y'$ est un multiple de $2\times5=10$. En résumé,
      • $(x'-y')(x'+y')=20$
      • $x'-y'$ est un entier relatif qui est un multiple de $2$
      • $x'+y'$ est un entier relatif qui est un multiple de $10$.

      Ceci ne laisse que deux possibilités :

      • $x'-y'=2$ et $x'+y'=10$ puis $x'=\dfrac{10+2}{2}=6$ et $y'=\dfrac{10-2}{2}=4$
      • $x'-y'=-2$ et $x'+y'=-10$ puis $x'=\dfrac{-2-10}{2}=-6$ et $y'=\dfrac{-10+2}{2}=-4$.

      Dans le premier cas, $x=\dfrac{y'-6}{5}=\dfrac{4-6}{5}=-\dfrac{2}{5}$ et $x$ n'est pas un entier relatif.

      Dans le deuxième cas, $x=\dfrac{y'-6}{5}=\dfrac{-4-6}{5}=-2$ et $y=\dfrac{4-x'}{5}=\dfrac{4+6}{5}=2$.

      Réciproquement, le couple $(x,y)=(-2,2)$ est bien un élément de $(E)$. De plus, pour ce couple $(x,y)$, on a

      $(x',y')=(-5\times2+4,5\times(-2)+6)=(-6,-4)$

      puis $x'^2-y'^2=36-16=20$. Finalement,

      il existe exactement un point de $(E)$ tel que $x'^2-y'^2=20$ : le point de coordonnées $(-2,2)$.