Rochambeau 2012. Enseignement de spécialité

EXERCICE 4 (5 points)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.
Soit $S$ la transformation du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : $$z'=5iz+6i+4.$$

Partie A

On note $x$ et $x'$, $y$ et $y'$ les parties réelles et imaginaires respectives de $z$ et $z'$. Démontrer que $$\left\{\begin{array}{l} x'=-5y+4\\ y'=5x+6 \end{array} \right..$$

Partie B

Dans cette partie, on se place dans le cas où les coordonnées $x$ et $y$ du point $M$ sont des entiers relatifs tels que

$-3\leqslant x\leqslant 5$ et $-3\leqslant y\leqslant 5$.

On note $(E)$ l'ensemble de ces points $M$.
On rappelle que les coordonnées $(x',y')$ du point $M'$, image du point $M$ par la transformation $S$, sont $x'=-5y+4$ et $y'=5x+6$.

    1. Déterminer l'ensemble des couples $(a,b)$ d'entiers relatifs tels que $4a+3b=5$.

    2. En déduire l'ensemble des points $M$ de $(E)$ de coordonnées $(x,y)$ tels que $-3x'+4y'=37$.

  2. Soient $M$ un point de l'ensemble $(E)$ et $M'$ son image par la transformation $S$.

    1. Démontrer que $x'+y'$ est un multiple de $5$.

    2. Démontrer que $x'-y'$ et $x'+y'$ sont congrus modulo $2$.
      En déduire que si $x'^2-y'^2$ est un multiple de $2$ alors $x'-y'$ et $x'+y'$ le sont également.

    3. Déterminer l'ensemble des points $M$ de $(E)$ tels que : $x'^2-y'^2=20$.