EXERCICE 4
- Soit $M$ un point du plan dont l'affixe est notée $z$.
$f(M)=M\Leftrightarrow z^2=z\Leftrightarrow z(z-1)=0\Leftrightarrow z=0\;\text{ou}\;z=1\Leftrightarrow M=O\;\text{ou}\;M=\Omega$.
$\Gamma_1=\{O,\Omega\}$.
-
- $|a|=\sqrt{\left(\sqrt{2}\right)^2+\left(\sqrt{2}\right)^2}=2$ puis
$a=2\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=2\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)=2e^{-i\pi/4}$.
$a=2e^{-i\pi/4}$.
- $f(O)=O$ et donc $f(O)\neq A$. Soit $M$ un point du plan distinct de $O$ d'affixe $z\neq0$.
\begin{align*}
f(M)=A&\Leftrightarrow z^2=a\Leftrightarrow|z^2|=|a|\;\text{et il existe un entier relatif}\;k\;\text{tel que}\;\text{arg}(z^2)=\text{arg}(a)+2k\pi\\
&\Leftrightarrow|z|^2=2\;\text{et il existe un entier relatif}\;k\;\text{tel que}\;2\text{arg}(z)=-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\\
&\Leftrightarrow|z|=\sqrt{2}\;\text{et il existe un entier relatif}\;k\;\text{tel que}\;\text{arg}(z)=-\dfrac{\pi}{8}+k\pi\\
&\Leftrightarrow z=\sqrt{2}e^{-i\pi/8}\;\text{ou}\;z=-\sqrt{2}e^{-i\pi/8}\;(\text{car bien sûr,}\;z^2=a\Leftrightarrow(-z)^2=a).
\end{align*}
Les affixes des deux antécédents du point $A$ sont $\sqrt{2}e^{-i\pi/8}$ et $-\sqrt{2}e^{-i\pi/8}$.
Posons $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont deux réels.
$z'=z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy$.
Par suite,
$z'$ est imaginaire pur $\Leftrightarrow\text{Re}(z')=0\Leftrightarrow x^2-y^2=0\Leftrightarrow(x-y)(x+y)=0\Leftrightarrow y=x\;\text{ou}\;y=-x$.
$\Gamma_2$ est la réunion des deux droites d'équations respectives $y=x$ et $y=-x$.
- Soit $M$ un point du plan distinct de $\Omega$ et de $B$ dont l'affixe est notée $z$. Puisque $M'$ est distinct de $\Omega$,
$\left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}\right)$ existe et
\begin{align*}
\left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}\right)&=\left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{u}\right)+\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{\Omega M'}\right)=-\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{\Omega M}\right)+\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{\Omega M'}\right)\\
&=-\text{arg}(z-\omega)+\text{arg}(z'-\omega)=\text{arg}\left(\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}\right)\;[2\pi].
\end{align*}
- Soit $M$ un point du plan distinct de $\Omega$ et de $B$.
\begin{align*}
\left|\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}\right|=1\;\text{et}\;\text{arg}\left(\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]&\Leftrightarrow\dfrac{|z'-\omega|}{|z-\omega|}=1\;\text{et}\;\text{arg}\left(\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]\\
&\Leftrightarrow \dfrac{\Omega M'}{\Omega M}=1\;\text{et}\;\left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]\\
&\Leftrightarrow \Omega M=\Omega M'\;\text{et}\;\left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]\\
&\Leftrightarrow \Omega MM'\;\text{est rectangle, isocèle, direct en}\;\Omega.
\end{align*}
- Soit $M$ un point du plan distinct de $\Omega$ et de $B$.
\begin{align*}
\Omega MM'\;\text{est rectangle, isocèle, direct en}\;\Omega&\Leftrightarrow\left|\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}\right|=1\;\text{et}\;\text{arg}\left(\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]\\
&\Leftrightarrow\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}=e^{i\frac{\pi}{2}}\Leftrightarrow\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}=i\Leftrightarrow\dfrac{z^2-1}{z-1}=i\\
&\Leftrightarrow z^2-1=i(z-1)\;(\text{car}\;z\neq1)\\
&\Leftrightarrow z^2-1=iz-i\Leftrightarrow z^2-iz-1+i=0.
\end{align*}
- Soit $z$ un nombre complexe.
$(z-1)(z+1-i)=z^2-z+(1-i)z-(1-i)=z^2-iz-1+i$.
- Soit $M$ un point du plan distinct de $\Omega$ et de $B$. D'après les deux questions précédentes
$M\in\Gamma_3\Leftrightarrow z^2-iz-1+i=0\;\text{et}\;z\neq1\Leftrightarrow(z-1)(z+1-i)=0\;\text{et}\;z\neq1\Leftrightarrow z=-1+i$.
$\Gamma_3=\{C\}$ où $z_C=-1+i$.