EXERCICE 4 (5 points) (candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)$.
On considère l'application $f$ du plan dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$
telle que :
$$z'=z^2.$$
On note $\Omega$ le point d'affixe $1$.
- Déterminer l'ensemble $\Gamma_1$ des points $M$ du plan tels que $f(M)=M$.
- Soit $A$ le point d'affixe $a=\sqrt{2}-\sqrt{2}i$.
- Exprimer $a$ sous forme exponentielle.
- En déduire les affixes des deux antécédents de $A$ par $f$.
- Déterminer l'ensemble $\Gamma_2$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que l'affixe $z'$ du point $M'$ soit un nombre
imaginaire pur.
- On note $B$ le point d'affixe $-1$. On admet que si $M\neq \Omega$ et $M\neq B$, $M'$ est distinct de $\Omega$.
On souhaite déterminer l'ensemble $\Gamma_3$ des points $M$ distincts de $\Omega$ et de $B$ pour lesquels le triangle $\Omega MM'$ est
rectangle isocèle direct en $\Omega$.
- Montrer que pour tout point $M$ distinct de $\Omega$ et de $B$, $\left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}\right)=\text{arg}\left(\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}\right)\;[2\pi]$.
- En déduire que $M$ est un point de $\Gamma_3$ si et seulement si $\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}$ est le nombre complexe de module $1$ et
d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
- Montrer que $M$ est un point de $\Gamma_3$ si et seulement si $z^2-iz-1+i=0$ et $z\neq1$.
- Montrer que $z^2-iz-1+i=(z-1)(z+1-i)$.
- En déduire l'ensemble $\Gamma_3$.