Rochambeau 2012. Enseignement spécifique

EXERCICE 1 (5 points) (commun à tous les candidats)


Dans une association sportive, un quart des femmes et un tiers des hommes adhèrent à la section tennis. On sait également que $30\%$ des membres de cette association adhèrent à la section tennis.

Partie A

On choisit au hasard un membre de cette association et on note :

$F$ l'événement \og le membre choisi est une femme \fg,

$T$ l'événement \og le membre choisi adhère à la section tennis \fg.

  1. ontrer que la probabilité de l'événement $F$ est égale à $\dfrac{2}{5}$.

  2. On choisit un membre parmi les adhérents à la section tennis.
    Quelle est la probabilité que ce membre soit une femme ?

Partie B

Pour financer une sortie, les membres de cette association organisent une loterie.

  1. Chaque semaine, un membre de l'association est choisi au hasard et de manière indépendante pour tenir la loterie.

    1. Déterminer la probabilité pour qu'en quatre semaines consécutives, il y ait exactement deux fois un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis.

    2. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $p_n$ la probabilité qu'en $n$ semaines consécutives, il y ait au moins un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis.

      Montrer que pour tout entier $n$ non nul, $p_n=1-\left(\dfrac{7}{10}\right)^n$.


    3. Déterminer le nombre minimal de semaines pour que $p_n\geqslant0,99$.

  2. Pour cette loterie, on utilise une urne contenant $100$ jetons ; $10$ jetons exactement sont gagnants et rapportent $20$ euros chacun, les autres ne rapportent rien.

    Pour jouer à cette loterie, un joueur doit payer $5 $ \EUR~puis tire au hasard successivement avec remise deux jetons de l'urne : il reçoit alors $20$ euros par jeton gagnant. Les deux jetons sont ensuite remis dans l'urne.

    On note $X$ la variable aléatoire associant le gain algébrique (déduction faite des $5$ \EUR) réalisé par un joueur lors d'une partie à cette loterie.

    1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.

    2. Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ et interpréter le résultat obtenu.