Rochambeau 2012. Enseignement spécifique

EXERCICE 2 (5 points) (commun à tous les candidats)

Partie A. Restitution organisée de connaissances

On rappelle que $\displaystyle\lim_{t\rightarrow+\infty}\dfrac{e^t}{t}=+\infty$.

Démontrer que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0$.

Partie B

On considère la fonction $f$ définie sur $[1,+\infty[$ par $f(x)=x-\dfrac{\ln(x)}{x}$.

On note $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$.

1. Soit $g$ la fonction définie sur $[1,+\infty[$ par $g(x)=x^2-1+\ln(x)$.
   Montrer que la fonction $g$ est positive sur $[1,+\infty[$.


2. 1. Montrer que, pour tout $x$ de $[1,+\infty[$, $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}$.
   
   
   2. En déduire le sens de variation de $f$ sur $[1,+\infty[$.
   
   
   3. Etudier la position de la courbe $(C)$ par rapport à la droite $(D)$ d'équation $y=x$.



3. Pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à $2$, on note respectivement $M_k$ et $N_k$ les points d'abscisse $k$ de $(C)$ et $(D)$.
   
   
   1. Montrer que, pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à $2$, la distance $M_kN_k$ entre les points $M_k$ et $N_k$ est donnée par $M_kN_k=\dfrac{\ln(k)}{k}$.
   
   
   2. Ecrire un algorithme déterminant le plus petit entier $k_0$ supérieur ou égal à $2$ tel que la distance $M_kN_k$ soit inférieure ou égale à $10^{-2}$.