Rochambeau 2012. Enseignement spécifique

EXERCICE 2


Partie A. Restitution organisée de connaissances

Pour $x>0$, on pose $t=\ln(x)$ ou encore $x=e^t$ de sorte que $x$ tend vers $+\infty$ si et seulement si $t$ tend vers $+\infty$. On obtient

$\dlim{x}{+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=\dlim{t}{+\infty}\dfrac{\ln\left(e^t\right)}{e^t}=\dlim{t}{+\infty}\dfrac{t}{e^t}=\dlim{t}{+\infty}\dfrac{1}{e^t/t}=0$,

car $\dlim{t}{+\infty}\dfrac{e^t}{t}=+\infty$.

Partie B

  1. Soit $x\geqslant1$. Alors, $x^2-1\geqslant0$ et $\ln(x)\geqslant0$ puis $g(x)\geqslant0$. Donc la fonction $g$ est positive sur $[1,+\infty[$.

    1. La fonction $x\mapsto\dfrac{\ln(x)}{x}$ est dérivable sur $[1,+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $[1,+\infty[$ dont le dénominateur ne s'annule pas sur $[1,+\infty[$. Mais alors la fonction $f$ est dérivable sur $[1,+\infty[$ en tant que différence de deux fonctions dérivables sur $[1,+\infty[$ et pour $x\geqslant1$,
      $f'(x)=1-\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-\ln(x)\times1}{x^2}=\dfrac{x^2-1+\ln(x)}{x^2}=\dfrac{g(x)}{x^2}$.

    2. Pour tout $x\geqslant1$, $x^2>0$ et donc $f'(x)$ est du signe de $g(x)$. Le signe de la fonction $g$ a été étudié à la question 1) et on en déduit que la fonction $f'$ est positive sur $[1,+\infty[$ puis que

      la fonction $f$ est croissante sur $[1,+\infty[$.


    3. Soit $x\geqslant1$. Soient $M$ le point de $(C)$ d'abscisse $x$ et $N$ le point de $(D)$ de même abscisse $x$.
      $y_M-y_N=f(x)-x=\left(x-\dfrac{\ln(x)}{x}\right)-x=-\dfrac{\ln(x)}{x}$.

      Puisque $x\geqslant1$, $y_M-y_N$ est du signe de $-\ln(x)$. Par suite, pour tout $x>1$, $y_M-y_N< 0$ et pour $x=1$, $y_M-y_N=0$. Ainsi, $(C)$ est strictement au-dessous de $(D)$ sur $]1,+\infty[$ et $(C)$ et $(D)$ se coupent au point de coordonnées $(1,1)$.


    1. Soit $k\geqslant2$. D'après la question précédente,
      $M_kN_k=\left|y_{N_k}-y_{M_k}\right|=\left|\dfrac{\ln(k)}{k}\right|=\dfrac{\ln(k)}{k}$ (car $k\geqslant2$ et donc $\dfrac{\ln(k)}{k}\geqslant0$).

    2. Algorithme.
      *****************************************
      *****************************************
      *****************************************
      *****************************************
      *****************************************
      *****************************************
      *****************************************
      *****************************************
      *****************************************
      *****************************************
      *****************************************
      *****************************************
      *****************************************
      *****************************************