EXERCICE 3 (5 points) (candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité)
On étudie l'évolution dans le temps du nombre de jeunes et d'adultes dans une population d'animaux.
Pour tout entier naturel $n$, on note $j_n$ le nombre d'animaux jeunes après $n$ années d'observation et
$a_n$ le nombre d'animaux adultes après $n$ années d'observation. Il y a au début de la première année de l'étude,
$200$ animaux jeunes et $500$ animaux adultes. Ainsi $j_0= 200$ et $a_0= 500$.
On admet que pour tout entier naturel $n$ on a :
$$\left\{
\begin{array}{l}
j_{n+1}=0,125j_n+ 0,525a_n\\\
a_{n+1}=0,625j_n+ 0,625a_n
\end{array}
\right..$$
On introduit les matrices suivantes :
$A=\left(
\begin{array}{cc}
0,125&0,525\\
0,625&0,625
\end{array}
\right)$ et, pour tout entier naturel $n$, $U_n=\left(
\begin{array}{c}
j_n\\
a_n
\end{array}
\right)$.
-
- Montrer que pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}= A\times U_n$.
- Calculer le nombre d'animaux jeunes et d'animaux adultes après un an d'observation puis après deux ans d'observation (résultats arrondis à l'unité près par défaut).
- Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $U_n$ en fonction de $A^n$ et de $U_0$.
- On introduit les matrices suivantes $Q=\left(
\begin{array}{cc}
7&3\\
-5&5
\end{array}
\right)$ et $D=\left(
\begin{array}{cc}
-0,25&0\\
0&1
\end{array}
\right)$.
- On admet que la matrice $Q$ est inversible et que $Q^{-1}=\left(
\begin{array}{cc}
0,1&-0,06\\
0,1&0,14
\end{array}
\right)$.
Montrer que $Q\times D\times Q^{-1}= A$.
- Montrer par récurrence sur $n$ que pour tout entier naturel $n$ non nul : $A^n =Q\times D^n\times Q^{-1}$.
- Pour tout entier naturel $n$ non nul, déterminer $D^n$ en fonction de $n$.
- On admet que pour tout entier naturel $n$ non nul,
$$A^n=\left(
\begin{array}{cc}
0,3+0,7\times\left(-0,25\right)^n&0,42-0,42\times\left(-0,25\right)^n\\
0,5-0,5\times\left(-0,25\right)^n&0,7+0,3\times\left(-0,25\right)^n
\end{array}
\right)$$
- En déduire les expressions de $j_n$ et $a_n$ en fonction de $n$ et déterminer les limites de ces deux suites.
- Que peut-on en conclure pour la population d'animaux étudiée ?