2013PondicherySpecialiteExo3Matrices

EXERCICE 3

1. Soit $n$ un entier naturel. $$U_{n+1}=\left( \begin{array}{c} j_{n+1}\\ a_{n+1} \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 0,125j_n+ 0,525a_n\\ 0,625j_n+ 0,625a_n \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 0,125&0,525\\ 0,625&0,625 \end{array} \right)\times\left( \begin{array}{c} j_n\\ a_n \end{array} \right)= A\times U_n.$$
  Pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}= A\times U_n$.
2. $$\left\{ \begin{array}{l} j_{1}=0,125j_0+ 0,525a_0=0,125\times200+ 0,525\times500=25+262,5=287,5\\\ a_{1}=0,625j_0+ 0,625a_0=0,625\times200+ 0,625\times500=125+312,5=437,5 \end{array} \right..$$
  Il y a donc $287$ animaux jeunes et $437$ animaux adultes après un an d'observation.
  $$\left\{ \begin{array}{l} j_{2}=0,125j_1+ 0,525a_1=0,125\times287,5+ 0,525\times437,5=35,9375+229,6875=265,625\\\ a_{2}=0,625j_1+ 0,625a_1=0,625\times287,5+ 0,625\times437,5=179,6875+273,4375=453,125 \end{array} \right..$$
  Il y a donc $265$ animaux jeunes et $453$ animaux adultes après deux ans d'observation.
3. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $U_n=A^n\times U_0$.
  - Pour $n=1$, $U_1=A\times U_0=A^1\times U_0$ d'après la question 1)a). La formule proposée est donc vraie quand $n=1$.
  - Soit $n\geqslant1$. Supposons que $U_n=A^n\times U_0$ et montrons que $U_{n+1}=A^{n+1}\times U_0$.
  \begin{align*} U_{n+1}&=A\times U_n\;(\text{d'après la question 1)a)})\\ &=A\times A^n\times U_0\;(\text{par hypothèse de récurrence})\\ &=A^{n+1}\times U_0. \end{align*}
  On a montré par récurrence que
  
  pour tout entier naturel non nul $n$, $U_n=A^n\times U_0$.

1. \begin{align*} Q\times D\times Q^{-1}&=\left( \begin{array}{cc} 7&3\\ -5&5 \end{array} \right)\times\left( \begin{array}{cc} -0,25&0\\ 0&1 \end{array} \right)\times\left( \begin{array}{cc} 0,1&-0,06\\ 0,1&0,14 \end{array} \right)\\ &=\left( \begin{array}{cc} 7\times(-0,25)&3\times1\\ -5\times(-0,25)&5\times1 \end{array} \right)\times\left( \begin{array}{cc} 0,1&-0,06\\ 0,1&0,14 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} -1,75&3\\ 1,25&5 \end{array} \right)\times\left( \begin{array}{cc} 0,1&-0,06\\ 0,1&0,14 \end{array} \right)\\ &=\left( \begin{array}{cc} -1,75\times0,1+3\times0,1&(-1,75)\times(-0,06)+3\times0,14\\ 1,25\times0,1+5\times0,1&1,25\times(-0,06)+5\times0,14 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 0,125&0,525\\ 0,625&0,625 \end{array} \right)\\ &= A. \end{align*}
  Donc,
  
  $Q\times D\times Q^{-1}=A$.
2. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$ non nul, $A^n=Q\times D^n\times Q^{-1}$.
  - Pour $n=1$, $Q\times D^1\times Q^{-1}=Q\times D\times Q^{-1}=A$ d'après la question 2)a). La formule proposée est donc vraie quand $n=1$.
  - Soit $n\geqslant1$. Supposons que $A^n=Q\times D^n\times Q^{-1}$ et montrons que $A^{n+1}=Q\times D^{n+1}\times Q^{-1}$.
  \begin{align*} A^{n+1}&=A\times A^n\\ &=Q\times D\times Q^{-1}\times Q\times D^n\times Q^{-1}\;(\text{par hypothèse de récurrence})\\ &=Q\times D\times I\times D^n\times Q^{-1}=Q\times D\times D^n\times Q^{-1}\\ &=Q\times D^{n+1}\times Q^{-1}. \end{align*}
  On a montré par récurrence que
  
  pour tout entier naturel non nul $n$, $A^n=Q\times D^n\times Q^{-1}$.
3. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$ non nul, $D^n=\left( \begin{array}{cc} \left(-0,25\right)^n&0\\ 0&1 \end{array} \right)$.
  - Pour $n=1$, $D^1=D=\left( \begin{array}{cc} -0,25&0\\ 0&1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} \left(-0,25\right)^1&0\\ 0&1 \end{array} \right)$. La formule proposée est donc vraie quand $n=1$.
  - Soit $n\geqslant1$. Supposons que $D^n=\left( \begin{array}{cc} \left(-0,25\right)^n&0\\ 0&1 \end{array} \right)$ et montrons que $D^{n+1}=\left( \begin{array}{cc} \left(-0,25\right)^{n+1}&0\\ 0&1 \end{array} \right)$.
  \begin{align*} D^{n+1}&=D\times D^n\\ &=\left( \begin{array}{cc} -0,25&0\\ 0&1 \end{array} \right)\times \left( \begin{array}{cc} \left(-0,25\right)^n&0\\ 0&1 \end{array} \right)\;(\text{par hypothèse de récurrence})\\ &=\left( \begin{array}{cc} \left(-0,25\right)^{n+1}&0\\ 0&1 \end{array} \right). \end{align*}
  On a montré par récurrence que
  
  pour tout entier naturel non nul $n$, $D^n=\left( \begin{array}{cc} \left(-0,25\right)^n&0\\ 0&1 \end{array} \right)$.

1. Soit $n$ un entier naturel non nul. D'après la question 1)b), \begin{align*} U_n&=A^n\times U_0=\left( \begin{array}{cc} 0,3+0,7\times\left(-0,25\right)^n&0,42-0,42\times\left(-0,25\right)^n\\ 0,5-0,5\times\left(-0,25\right)^n&0,7+0,3\times\left(-0,25\right)^n \end{array} \right)\times\left( \begin{array}{c} 200\\ 500 \end{array} \right)\\ &=\left( \begin{array}{cc} 200\left(0,3+0,7\times\left(-0,25\right)^n\right)+500\left(0,42-0,42\times\left(-0,25\right)^n\right)\\ 200\left(0,5-0,5\times\left(-0,25\right)^n\right)+500\left(0,7+0,3\times\left(-0,25\right)^n\right) \end{array} \right)\\ &=\left( \begin{array}{cc} 270-70\times\left(-0,25\right)^n\\ 450+50\times\left(-0,25\right)^n \end{array} \right) \end{align*}
  Pour tout entier naturel $n$, $j_n=270-70\times\left(-0,25\right)^n$ et $a_n=450+50\times\left(-0,25\right)^n$.
  
  Puisque $-1< -0,25< 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(-0,25\right)^n=0$ et donc
  
  $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}j_n=270$ et $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}a_n=450$.
2. Cela signifie qu'au bout d'un grand nombre d'années d'observation, le nombre d'animaux jeunes est environ $270$ et le nombre d'animaux adultes est environ $450$. Le nombre total d'animaux est quant à lui passé de $700$ à environ $720$.

Pondichéry 2013. Enseignement de spécialité

EXERCICE 3