Pondichéry 2013. Enseignement spécifique

EXERCICE 1 (5 points) (commun à tous les candidats)

Partie 1

On s'intéresse à l'évolution de la hauteur d'un plant de maïs en fonction du temps. Le graphique en annexe 1 représente cette évolution. La hauteur est en mètres et le temps en jours.

On décide de modéliser cette croissance par une fonction logistique du type :

où $a$ et $b$ sont des constantes réelles positives, $t$ est la variable temps exprimée en jours et $h(t)$ désigne la hauteur du plant, exprimée en mètres.

On sait qu'initialement, pour $t = 0$, le plant mesure $0,1$ m et que sa hauteur tend vers une hauteur limite de $2$ m.

Déterminer les constantes $a$ et $b$ afin que la fonction $h$ corresponde à la croissance du plant de maïs étudié.

Partie 2

On considère désormais que la croissance du plant de maïs est donnée par la fonction $f$ définie sur $[0 ; 250]$ par

1. Déterminer $f'(t)$ en fonction de $t$ ($f'$ désignant la fonction dérivée de la fonction $f$).
   En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0; 250]$.


2. Calculer le temps nécessaire pour que le plant de maïs atteigne une hauteur supérieure à $1,5$ m.


3. 1. Vérifier que pour tout réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0 ; 250J$ on a $$f(t)=\dfrac{2e^{0,04t}}{e^{0,04t}+19}.$$

      Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $[0 ; 250]$ par $F(t) = 50\ln(e^{0,04t}+ 19)$ est une primitive de la fonction $f$.

   
   
   2. Déterminer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[50 ; 100]$.
      En donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près et interpréter ce résultat.


4. On s'intéresse à la vitesse de croissance du plant de maïs ; elle est donnée par la fonction dérivée de la fonction $f$.

   La vitesse de croissance est maximale pour une valeur de $t$.
   En utilisant le graphique donné en annexe, déterminer une valeur approchée de celle-ci.
   Estimer alors la hauteur du plant.


Annexe (Exercice 1)