Pondichéry 2013. Enseignement spécifique

EXERCICE 1 (5 points) (commun à tous les candidats)

Partie 1

Soient $a$ et $b$ deux réels puis $h$ la fonction définie par : pour tout réel $t$, $h(t)=\dfrac{a}{1+be^{-0,04t}}$.

Les conditions de l'énoncé s'écrivent $h(0)=0,1$ et $\displaystyle\lim_{t\rightarrow+\infty}h(t)=2$.

Tout d'abord, $\displaystyle\lim_{t\rightarrow+\infty}e^{-0,04t}=\displaystyle\lim_{X\rightarrow-\infty}e^{X}=0$ et donc $\displaystyle\lim_{t\rightarrow+\infty}h(t)=\dfrac{a}{1+b\times0}=a$. Donc $\displaystyle\lim_{t\rightarrow+\infty}h(t)=2\Leftrightarrow a=2$.

Ensuite, $h(0)=\dfrac{a}{1+be^0}=\dfrac{2}{1+b}$ puis

En résumé, $h$ correspond à la croissance du plan de maïs étudié si et seulement si

Partie 2

1. $f$ est dérivable sur $[0,250]$ en tant qu'inverse d'une fonction dérivable sur $[0,250]$ et ne s'annulant pas sur $[0,250]$. De plus, pour tout réel $t$ de $[0,250]$, $$h'(t)=2\times-\dfrac{19\times(-0,04)e^{-0,04t}}{\left(1+19e^{-0,04t}\right)^2}=\dfrac{1,52e^{-0,04t}}{\left(1+19e^{-0,04t}\right)^2}.$$

   Pour tout réel $t$ de $[0,250]$, $e^{-0,04t}>0$ et $\left(1+19e^{-0,04t}\right)^2>0$. Par suite, pour tout réel $t$ de $[0,250]$, $h'(t)>0$.

   On en déduit que la fonction $h$ est strictement croissante sur $[0; 250]$.



2. Soit $t$ un réel de l'intervalle $[0,250]$. \begin{align*} h(t)\geqslant1,5&\Leftrightarrow\dfrac{2}{1+19e^{-0,04t}}\geqslant1,5\Leftrightarrow2\geqslant1,5+28,5e^{-0,04t}\;(\text{car}\;1+19e^{-0,04t}>0)\\ &\Leftrightarrow28,5e^{-0,04t}\leqslant0,5\Leftrightarrow e^{-0,04t}\leqslant\dfrac{0,5}{28,5}\Leftrightarrow e^{-0,04t}\leqslant\dfrac{1}{57}\\ &\Leftrightarrow -0,04t\leqslant\ln\left(\dfrac{1}{57}\right)\;(\text{par stricte croissance de la fonction}\;\ln\;\text{sur}\;]0,+\infty[)\\ &\Leftrightarrow -0,04t\leqslant-\ln\left(57\right)\Leftrightarrow 0,04t\geqslant\ln\left(57\right)\\ &\Leftrightarrow t\geqslant25\ln\left(57\right). \end{align*}

   Le temps nécessaire pour que le plant de maïs atteigne une hauteur supérieure à $1,5$ m est $t_0=25\ln\left(57\right)=101,07\ldots$ soit à partir de $102$ jours.



3. 1. Soit $t$ un réel appartenant à l'intervalle $[0 ; 250J$. $$f(t)=\dfrac{2}{1+19e^{-0,04t}}=\dfrac{2}{1+\dfrac{19}{e^{0,04t}}}=\dfrac{2e^{0,04t}}{e^{0,04t}+19}.$$

      Pour tout réel $t$ de $[0 ; 250]$, $e^{0,04t}+ 19>0$. Donc, la fonction $F$ est dérivable sur $[0 ; 250]$ et pour tout réel $t$ de $[0 ; 250]$,

      $$F'(t)=50\times\dfrac{\left(e^{0,04t}+ 19\right)'}{e^{0,04t}+ 19}=50\times\dfrac{0,04e^{0,04t}}{e^{0,04t}+ 19}=\dfrac{2e^{0,04t}}{e^{0,04t}+19}=f(t).$$

      Donc, la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[0 ; 250]$.

   
   
   2. a valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[50 ; 100]$ est $$\dfrac{1}{100-50}\displaystyle\int_{50}^{100}f(t)\;dt=\dfrac{1}{50}\left[F(t)\right]_{50}^{100}=\ln\left(e^4+19\right)-\ln\left(e^2+19\right)=\ln\left(\dfrac{e^4+19}{e^2+19}\right).$$

      Une valeur approchée à $10^{-2}$ près par défaut de cette valeur moyenne est $1,02$. Donc, entre $50$ et $100$ jours, le plan de maïs atteint en moyenne $1,02$ m de haut.



4. La vitesse de croissance est maximale quand la pente de la tangente au point d'abscisse $t$ est maximale.
   Sur le graphique, cela semble correspondre à une hauteur de $1$ m et une durée de $75$ jours.