Pondichéry 2013. Enseignement spécifique

EXERCICE 3

    1. $Z_M=2e^{-i\frac{\pi}{3}}=2\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\right)=2\left(\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=1-i\sqrt{3}$.

      $Z_M=1-i\sqrt{3}$.


    2. $Z_{M'}= -iZ_M=-i\left(1-i\sqrt{3}\right)=-\sqrt{3}-i$.

      $Z_{M'}=-\sqrt{3}-i$.

      $\left|Z_{M'}\right|=\left|-\sqrt{3}-i\right|=\sqrt{\left(-\sqrt{3}\right)^2+\left(-1\right)^2}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2$ puis $$Z_{M'}=2\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-i\dfrac{1}{2}\right)=2\left(\cos\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)\right)=2e^{-5i\pi/6}.$$

      Le module de $Z_{M'}$ est $2$ et un argument de $Z_{M'}$ est $-\dfrac{5\pi}{6}$.


    3. La droite $(OI)$ semble être perpendiculaire à la droite $(BM')$ et la distance $BM'$ semble être le double de la distance $OI$.
      image/svg+xml O

  2. On pose $Z_M= x + iy$ avec $x$ et $y$ réels tels que $y\neq0$.
    1. $z_I=\dfrac{1}{2}\left(z_A+z_M\right)=\dfrac{1}{2}(1+x+iy)=\dfrac{1+x}{2}+i\dfrac{y}{2}$.

      $Z_I=\dfrac{1+x}{2}+i\dfrac{y}{2}$.


    2. $z_{M'}=-iz_M=-i(x+iy)=y-ix$.

      $Z_{M'}=y-ix$.


    3. Les coordonnées des points $I$, $B$ et $M'$ sont respectivement $\left(\dfrac{1+x}{2},\dfrac{y}{2}\right)$, $(0,1)$ et $(y,-x)$.

    4. Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{OI}$ sont $\left(\dfrac{1+x}{2},\dfrac{y}{2}\right)$ et les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{BM'}$ sont $(y,-x-1)$. Par suite, $$\overrightarrow{OI}.\overrightarrow{BM'}=\dfrac{1+x}{2}\times y+\dfrac{y}{2}\times(-x-1)=\dfrac{(1+x)y-y(1+x)}{2}=0.$$

      Donc, la droite $(OI)$ est perpendiculaire à la droite $(BM')$ ou encore

      la droite $(OI)$ est la hauteur issue de $O$ du triangle $OBM'$.


    5. $BM'^2=\left\|\overrightarrow{BM'}\right\|^2=y^2+(-x-1)^2=y^2+(-(x+1))^2=(x+1)^2+y^2$.

      $OI^2=\left\|\overrightarrow{OI}\right\|^2=\dfrac{1}{4}\left((x+1)^2+y^2\right)$.

      Donc, $BM'^2=4OI^2$ et finalement

      $BM' = 2OI$.