Pondichéry 2013. Enseignement spécifique

EXERCICE 3 (5 points) (candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(O,\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\right)$.

On note $i$ le nombre complexe tel que $i^2= -1$.

On considère le point $A$ d'affixe $Z_A= 1$ et le point $B$ d'affixe $Z_B= i$.

A tout point $M$ d'affixe $Z_M= x + iy$, avec $x$ et $y$ deux réels tels que $y\neq0$, on associe le point $M'$ d'affixe $Z_{M'}= -iZ_M$.

On désigne par $I$ le milieu du segment $[AM]$.

Le but de l'exercice est de montrer que pour tout point $M$ n'appartenant pas à $(O$A), la médiane $(OI)$ du triangle $OAM$ est aussi une hauteur du triangle $OBM'$ (propriété 1) et que $BM' = 2 OI$ (propriété 2).

1. Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend $Z_M=2e^{-i\frac{\pi}{3}}$.
   
   
   1. Déterminer la forme algébrique de $Z_M$.
   
   
   2. Montrer que $Z_{M'}= -\sqrt{3} - i$. Déterminer le module et un argument de $Z_{M'}$.
   
   
   3. Placer les points $A$, $B$, $M$, $M'$ et $I$ dans le repère $\left(O,\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\right)$ en prenant 2 cm pour unité graphique.
      Tracer la droite $(OI)$ et vérifier rapidement les propriétés 1 et 2 à l'aide du graphique.


2. On revient au cas général en prenant $Z_M= x + iy$ avec $y\neq0$.
   
   
   1. Déterminer l'affixe du point $I$ en fonction de $x$ et $y$.
   
   
   2. Déterminer l'affixe du point $M'$ en fonction de $x$ et $y$.
   
   
   3. Écrire les coordonnées des points $I$, $B$ et $M'$.
   
   
   4. Montrer que la droite $(OI)$ est une hauteur du triangle $OBM'$.
   
   
   5. Montrer que $BM' = 2OI$.