Pondichéry 2013. Enseignement spécifique

EXERCICE 4

1. 1. Représentons la situation par un arbre ($E_1$ est impossible et donc $\overline{E_1}$ est certain). **************************************
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      La probabilité demandée est $p_3=p(E_3)$. La formule des probabilités totales fournit

      \begin{align*} p_3&=p\left(E_2\cap E_3\right)+p\left(\overline{E_2}\cap E_3\right)=p\left(E_2\right)\times p_{E_2}(E_3)+p\left(\overline{E_2}\right)\times p_{\overline{E_2}}(E_3)\\ &=0,04\times0,24+0,96\times0,04=0,0096+0,0384=0,048. \end{align*}

      $p_3=0,048$.

   
   
   2. La probabilité demandée est $p_{E_3}\left(E_2\right)$. $$p_{E_3}\left(E_2\right)=\dfrac{p\left(E_2\cap E_3\right)}{p\left(E_3\right)}=\dfrac{p\left(E_2\right)\times p_{E_2}\left(E_3\right)}{p\left(E_3\right)}=\dfrac{0,04\times0,24}{0,048}=\dfrac{0,0096}{0,048}=\dfrac{96}{480}=0,2.$$

      $p_{E_3}\left(E_2\right)=0,2$.



2. 1. 
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   2. Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $1$. D'après la formule des probabilités totales. \begin{align*} p_{n+1}&=p\left(E_n\right)\times p_{E_n}\left(E_{n+1}\right) +p\left(\overline{E_n}\right)\times p_{\overline{E_n}}\left(E_{n+1}\right)=0,24p_n+0,04(1-p_n)\\ &=0,2p_n + 0,04. \end{align*}

      Pour tout $n$ supérieur ou égal à $1$, $p_{n+1}=0,2p_n+0,04$.

   
   
   3. Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $1$. $$u_{n+1}=p_{n+1} — 0,05=0,2p_n+0,04-0,05=0,2p_n-0,01=0,2(p_n-0,05)=0,2u_n.$$

      Donc la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $r=0,2$ et de premier terme $u_1=p_1-0,05=-0,05$.

      On sait alors que pour tout entier naturel non nul $n$,

      $$u_n=u_1\times r^{n-1}=-0,05\times 0,2^{n-1},$$

      et donc

      $$p_n=u_n+0,05=0,05-0,05\times0,2^{n-1}.$$

      pour tout $n$ supérieur ou égal à $1$, $p_{n}=0,05-0,05\times0,2^{n-1}$.

   
   
   4. Puisque $-1< 0,2< 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}0,2^{n-1}=0$. On en déduit que

      $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}p_{n}=0,05$.

   
   
   5. A l'étape 1, $P$ contient $p_1$ et plus généralement, à l'étape $j\geqslant1$, $P$ contient $p_j$. L'algorithme s'arrête dès que la variable $J$ contient un numéro $j$ tel que $p_j\geqslant0,05-10^{-k}$ (où $k$ est la valeur entrée dans la variable $K$). A partir de ce numéro, tous les termes de la suite sont supérieurs ou égaux à $0,05-10^{-k}$.

      L'algorithme affiche donc le plus petit numéro $j$ tel que $p_j\geqslant0,05-10^{-k}$.

      Puisque la suite $\left(p_n\right)$ converge vers $0,05$, pour tout entier naturel $K$, il existe un rang $n_0$ tel que pour $n\geqslant n_0$, $p_n\geqslant0,05-10^{-K}$. On en déduit que cet algorithme s'arrête.



3. 1. $X$ suit une loi binomiale. En effet,
      
      
      • $220$ expériences identiques et indépendantes sont effectuées ;
      • chaque expérience a deux issues à savoir \og le salarié est malade \fg~avec une probabilité $p=0,05$ et \og le salarié n'est pas malade \fg~avec une probabilité $p=1-0,05$.

      Donc, $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=220$ et $p=0,05$.

      On sait que $\mu=np=220\times0,05=11$ et $\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{10,45}=3,23$ à $10^{-2}$ près.

   
   
   2. La probabilité demandée est $p(7\leqslant X\leqslant15)$. Or, $$7\leqslant X\leqslant15\Leftrightarrow\dfrac{7-\mu}{\sigma}\leqslant\dfrac{X-\mu}{\sigma}\leqslant\dfrac{15-\mu}{\sigma}.$$

      La probabilité demandée est donc aussi $p\left(\dfrac{7-11}{\sqrt{10,45}}\leqslant\dfrac{X-\mu}{\sigma}\leqslant\dfrac{15-11}{\sqrt{10,45}}\right)$ ou encore $p\left(-1,24\leqslant\dfrac{X-\mu}{\sigma}\leqslant1,24\right)$ en arrondissant les bornes de l'encadrement à $10^{-2}$.

      L'énoncé nous dit que cette probabilité est environ :

      \begin{align*} p\left(-1,24\leqslant Z\leqslant1,24\right)&=p(Z\leqslant1,24)-p(Z\leqslant-1,24)=p(Z< 1,24)-p(Z< -1,24)\\ &=0,892-0,108=0,784. \end{align*}

      La probabilité demandée vaut environ $0,784$.