R.O.C.

Nombres complexes

Pondichéry 2012. Enseignement spécifique. Exercice 4

Enoncé

Partie A Restitution organisée de connaissances

Soit $z$ un nombre complexe. On rappelle que $\overline{z}$ est le conjugué de $z$ et que $|z|$ est le module de $z$.
On admet l'égalité $|z|^2=z\overline{z}$.

Montrer que, si $z_1$ et $z_2$ sont deux nombres complexes, alors $|z_1z_2|=|z_1||z_2|$.

Solution

Soient $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes. On sait que $\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\times\overline{z_2}$ et donc

$|z_1z_2|^2=z_1z_2\overline{(z_1z_2)}=z_1\overline{z_1}z_2\overline{z_2}=|z_1|^2|z_2|^2=\left(|z_1|\times|z_2|\right)^2$.

En résumé, $|z_1z_2|^2=\left(|z_1|\times|z_2|\right)^2$. Puisqu'un module est un réel positif, en prenant la racine carrée des deux membres de l'égalité précédente, on obtient $|z_1z_2|=|z_1|\times|z_2|$. On a montré que

pour tous nombres complexes $z_1$ et $z_2$, $|z_1z_2|=|z_1|\times|z_2|$.




Polynésie 2010. Enseignement spécifique. Exercice 1

Enoncé

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.

Partie A - Restitution organisée de connaissances

Prérequis Soit $z$ un nombre complexe tel que $z=a + bi$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
On note $\overline{z}$, le nombre complexe défini par $\overline{z}= a - b i$.

Questions.

  1. Démontrer que, pour tous nombres complexes $z$ et $z'$, $\overline{z\times z'}=\overline{z}\times\overline{z'}$.

  2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul et tout nombre complexe $z$, $\overline{z^n}=\left(\overline{z}\right)^n$.

Solution

  1. Soient $a$, $b$, $a'$ et $b'$ quatre nombres réels puis $z=a+ib$ et $z'=a'+ib'$. \begin{align*} \overline{z}\times\overline{z'}&=(a-ib)(a'-ib')=(aa'-bb')-i(ab'+ba')=\overline{((aa'-bb')+i(ab'+ba'))}\\ &=\overline{(a+ib)(a'+ib')}=\overline{z\times z'}. \end{align*}

    Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$, $\overline{z}\times\overline{z'}=\overline{z\times z'}$.


  2. Soit $z$ un nombre complexe. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel non nul $n$, $\overline{z^n}=\left(\overline{z}\right)^n$.

    • C'est vrai pour $n=1$ car $\overline{z^1}=\overline{z}=\left(\overline{z}\right)^1$.
    • Soit $n\geqslant1$. Supposons que $\overline{z^n}=\left(\overline{z}\right)^n$. Alors
    \begin{align*} \overline{z^{n+1}}&=\overline{z^n\times z}=\overline{z^n}\times\overline{z}\;(\text{d'après 1)})\\ &=\left(\overline{z}\right)^n\times\overline{z}\;(\text{par hypothèse de récurrence})\\ &=\left(\overline{z}\right)^{n+1}. \end{align*}

    Le résultat est démontré par récurrence.

    Pour tout nombre complexe $z$ et tout entier naturel non nul $n$, $\overline{z^n}=\left(\overline{z}\right)^n$.




Probabilités

Centres étrangers 2009. Enseignement spécifique. Exercice 1

Enoncé

  1. Restitution organisée de connaissances.

    Prérequis : on rappelle que deux événements $A$ et $B$ sont indépendants pour la probabilité $p$ si et seulement si $p\left(A\cap B\right)=p(A)\times p(B)$.

    1. Démontrer que $p(B)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$.

    2. Démontrer que si les événements $A$ et $B$ sont indépendants, alors les événements $\overline{A}$ et $B$ sont indépendants.

Solution

  1. Les événements $B\cap A$ et $B\cap\overline{A}$ constituent une partition de l'événement $B$. La formule des probabilités totales fournit alors
    $p(B)=p(B\cap A)+p(B\cap\overline{A})$.

  2. Supposons maintenant les événements $A$ et $B$ indépendants. \begin{align*} p\left(B\cap\overline{A}\right)&=p(B)-p\left(B\cap A\right)\;(\text{d'après a)})\\ &=p(B)-p(B)\times p(A)\;(\text{car les événements}\;A\;\text{et}\;B\;\text{sont indépendants)}\\ &=p(B)(1-p(A))=p(B)\times p\left(\overline{A}\right). \end{align*}

    Ceci montre que les événements $\overline{A}$ et $B$ sont indépendants.




Asie 2011. Enseignement spécifique. Exercice 4
France métropolitaine 2008. Enseignement spécifique. Exercice 3

Enoncé

On admet que la durée de vie (exprimée en années) d'un certain type de capteur de lumière peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ ($\lambda$ strictement positif), c'est-à-dire que la probabilité que ce capteur tombe en panne avant l'année $t$ ($t$ positif) s'exprime par :

$F(t)=p(X\leqslant t)=p([0;t])=\displaystyle\int_0^t\lambda e^{-\lambda x}\;dx$.
  1. Restitution organisée de connaissances.

    Pré-requis:

    1. $p_B(A)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)}$ (où $A$ et $B$ sont deux événements tels que $p(B)\neq 0$) ;

    2. $p\left(\overline{A}\right)= 1-p(A)$ (où $A$ est un événement) ;

    3. $p([a ;b])=F(b)-F(a)$ (où $a$ et $b$ sont des nombres réels positifs tels que $a\leqslant b$).

    Démontrer que, pour tout nombre réel positif $s$, on a :

    $p_{[t ;+\infty[}([t ; t +s])=\dfrac{F(t +s)-F(t)}{1-F(t)}$

    et que $p_{[t ;+\infty[}([t ; t +s])$ est indépendant du nombre réel $t$.


Solution

Soient $s$ et $t$ deux réels positifs. Vérifions tout d'abord que $p([t,+\infty[)\neq0$.

$p([t,+\infty[)=1-p([0,t[)=1-p([0,t])=1-\displaystyle\int_{0}^{t}\lambda e^{-\lambda x}\;dx=1-\left[-e^{-\lambda x}\right]_0^t=1-(1-e^{-\lambda t})=e^{-\lambda t}$.

On a montré au passage que $F(t)=\displaystyle\int_{0}^{t}\lambda e^{-\lambda x}\;dx=1-e^{-\lambda t}$. Ensuite, comme la fonction exponentielle ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$, $p([t,+\infty[)=e^{-\lambda t}\neq0$ puis

\begin{align*} p_{[t,+\infty[}([t,t+s])&=\dfrac{p((t\leqslant X\leqslant t+s)\cap(X\geqslant t))}{p(X\geqslant t)}=\dfrac{p(t\leqslant X\leqslant t+s)}{1-p(X< t)}=\dfrac{p(t\leqslant X\leqslant t+s)}{1-p(X\leqslant t)}\;(\text{car}\;p(X=t)=0)\\ &=\dfrac{F(t+s)-F(t)}{1-F(t)}\\ &=\dfrac{\left(1-e^{-\lambda(t+s)}\right)-\left(1-e^{-\lambda t}\right)}{1-\left(1-e^{-\lambda t}\right)}=\dfrac{e^{-\lambda t}-e^{-\lambda(t+s)}}{e^{-\lambda t}}=\dfrac{e^{-\lambda t}}{e^{-\lambda t}}-\dfrac{e^{-\lambda(t+s)}}{e^{-\lambda t}}\\ &=1-e^{-\lambda t-\lambda s+\lambda t}=1-e^{-\lambda s}=F(s). \end{align*}

En particulier, $p_{[t,+\infty[}([t,t+s])$ est indépendant de $t$.




Analyse

Liban 2008. Enseignement spécifique. Exercice 3

Enoncé

Partie A Démonstration de cours.

Prérequis : définition d'une suite tendant vers $+\infty$.

\og une suite tend vers $+\infty$ si, pour tout réel $A$, tous les termes de la suite sont, à partir d'un certain rang, supérieurs à $A$ \fg

Démontrer le théorème suivant : une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$.

Solution

Soit $(u_n)$ une suite croissante non majorée. Soit $A$ un réel.

Puisque la suite $(u_n)$ n'est pas majorée, le réel $A$ n'est pas un majorant de la suite $(u_n)$. Il existe donc un entier $n_0$ tel que $u_{n_0}>A$.
Puisque la suite $(u_n)$ est croissante, si $n$ est un entier supérieur ou égal à $n_0$, on a $u_n\geqslant u_{n_0}>A$.

On a montré que, pour tout réel $A$, tous les termes de la suite $(u_n)$ sont, à partir d'un certain rang, supérieurs à $A$ et donc que $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=+\infty$.




Reconstitution organisée de connaissances

Rochambeau 2012. Enseignement spécifique. Exercice 2
Centres étrangers 2008. Enseignement spécifique. Exercice 4
Asie 2008. Enseignement spécifique. Exercice 4

Enoncé

On rappelle que $\displaystyle\lim_{t\rightarrow+\infty}\dfrac{e^t}{t}=+\infty$.

Démontrer que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0$.

Solution

Pour $x>0$, on pose $t=\ln(x)$ ou encore $x=e^t$ de sorte que $x$ tend vers $+\infty$ si et seulement si $t$ tend vers $+\infty$. On obtient

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=\displaystyle\lim_{t\rightarrow+\infty}\dfrac{\ln\left(e^t\right)}{e^t}=\displaystyle\lim_{t\rightarrow+\infty}\dfrac{t}{e^t}=\displaystyle\lim_{t\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{e^t/t}=0$,

car $\dlim{t}{+\infty}\dfrac{e^t}{t}=+\infty$.





Pondichéry 2010. Enseignement spécifique. Exercice 1
Rochambeau 2009. Enseignement spécifique. Exercice 2
Polynésie 2008. Enseignement spécifique. Exercice 4

Enoncé

Partie A - Restitution organisée de connaissances :

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$ et $f$ et $g$ deux fonctions continues sur l'intervalle $[a,b]$ avec $a< b$.
On suppose connus les résultats suivants :

Montrer que : si pour tout $t\in[a,b]$, $f(t)\leqslant g(t)$ alors $\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\;dt\leqslant\displaystyle\int_{a}^{b}g(t)\;dt$.

Solution

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur l'intervalle $[a,b]$ telles que pour tout $t\in[a,b]$, $f(t)\leqslant g(t)$. Alors, pour tout réel $t$ de $[a,b]$, $g(t)-f(t)\geqslant0$. Par positivité de l'intégrale, on en déduit que $\displaystyle\int_{a}^{b}(g(t)-f(t))\;dt\geqslant0$ puis par linéarité de l'intégrale, on en déduit que $\displaystyle\int_{a}^{b}g(t)\;dt-\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\;dt\geqslant0$ et donc que $\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\;dt\leqslant\displaystyle\int_{a}^{b}g(t)\;dt$.