Savoir faire N°6
Résoudre une équation en $z$ et $\overline{z}$ dans $\mathbb{C}$.
Pour résoudre dans $\mathbb{C}$ une équation où apparaissent $z$ et $\overline{z}$, on pose $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont deux réels puis on cherche à écrire l'équation sous la forme $A+iB=0$ où $A$ et $B$ sont deux réels ou plus généralement, on cherche à écrire l'équation sous la forme $A+iB=A'+iB'$ où $A$, $B$, $A'$ et $B'$ sont quatre réels puis on utilise :
pour tous réels $A$ et $B$ : $A+iB=0\Leftrightarrow A=B=0$,
ou
pour tous réels $A$, $B$, $A'$ et $B'$ : $A+iB=A'+iB'\Leftrightarrow A=A'$ et $B=B'$.
Ces résultats permettent d'identifier les coefficients.
Exemple 1.
On veut résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$ : $(1+i)z-(2-3i)\overline{z}=1$.
Soit $z$ un nombre complexe. On pose $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont deux réels.
\begin{align*}
(1+i)z-(2-3i)\overline{z}=1&\Leftrightarrow(1+i)(x+iy)-(2-3i)(x-iy)=1\\
&\Leftrightarrow (x+iy+ix+i^2y)-(2x-2iy-3ix+3i^2y)=1\\
&\Leftrightarrow (x+iy+ix-y)-(2x-2iy-3ix-3y)=1\\
&\Leftrightarrow x+iy+ix-y-2x+2iy+3ix+3y=1\\
&\Leftrightarrow x-2x-y+3y+(y+x+2y+3x)i=1\\
&\Leftrightarrow -x+2y+(4x+3y)i=1+0i\\
&\Leftrightarrow\left\{
\begin{array}{l}
-x+2y=1\\
4x+3y=0
\end{array}
\right.\;(\text{par identification des parties réelles et imaginaires})\\
&\Leftrightarrow\left\{
\begin{array}{l}
x=2y-1\\
4(2y-1)+3y=0
\end{array}
\right.\Leftrightarrow\left\{
\begin{array}{l}
11y-4=0\\
x=2y-1
\end{array}
\right.\Leftrightarrow\left\{
\begin{array}{l}
y=\dfrac{4}{11}
x=2\times\dfrac{4}{11}-1
\end{array}
\right.\Leftrightarrow\left\{
\begin{array}{l}
y=\dfrac{4}{11}
x=-\dfrac{3}{11}
\end{array}
\right.\\
&\Leftrightarrow z=-\dfrac{3}{11}+\dfrac{4}{11}i.
\end{align*}
L'ensemble des solutions de l'équation proposée est $\left\{-\dfrac{3}{11}+\dfrac{4}{11}i\right\}$.
Remarque.
Une très mauvaise démarche aurait été d'écrire l'équation sous la forme $z+iz-2\overline{z}+3i\overline{z}=1$ puis
$(z-2\overline{z})+i(z+3\overline{z})=1+0\times i$. En effet, les nombres $z-2\overline{z}$ et $z+3\overline{z}$ ne sont pas forcément réels et on ne peut
\hspace{0,15cm}donc pas identifier les coefficients.
Exemple 2.
On veut résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$ : $(1+i)z+(1-i)\overline{z}=1$.
Soit $z$ un nombre complexe. On pose $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont deux réels.
\begin{align*}
(1+i)z+(1-i)\overline{z}=1&\Leftrightarrow(1+i)(x+iy)+(1-i)(x-iy)=1\\
&\Leftrightarrow x+iy+ix+i^2y+x-iy-ix+i^2y=1\\
&\Leftrightarrow x+iy+ix-y+x-iy-ix-y=1\\
&\Leftrightarrow 2x-2y=1\\
&\Leftrightarrow y=x-\dfrac{1}{2}
\end{align*}
Les solutions de l'équation proposée sont les nombres complexes de la forme $x+i\left(x-\dfrac{1}{2}\right)$ où $x$ est un réel. Les solutions sont les affixes des points de la droite d'équation $y=x-\dfrac{1}{2}$.
Exemple 3.
On veut résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$ : $z^2=\overline{z}$.
Soit $z$ un nombre complexe. On pose $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont deux réels.
\begin{align*}
z^2=\overline{z}&\Leftrightarrow(x+iy)^2=(x-iy)\Leftrightarrow x^2+2ixy+i^2y^2-x+iy=0\Leftrightarrow x^2-y^2-x+iy(2x+1)=0\\
&\Leftrightarrow\left\{
\begin{array}{l}
x^2-y^2-x=0\\
y(2x+1)=0
\end{array}
\right.\Leftrightarrow\left\{
\begin{array}{l}
y=0\\
x^2-0^2-x=0
\end{array}
\right.\;\text{ou}\;\left\{
\begin{array}{l}
x=-\dfrac{1}{2}
\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2-y^2-\left(-\dfrac{1}{2}\right)=0
\end{array}
\right.\\
&\Leftrightarrow\left\{
\begin{array}{l}
y=0\\
x(x-1)=0
\end{array}
\right.\;\text{ou}\;\left\{
\begin{array}{l}
x=-\dfrac{1}{2}
y^2=\dfrac{3}{4}
\end{array}
\right.\\
&\Leftrightarrow(x,y)=(0,0)\;\text{ou}\;(x,y)=(0,1)\;\text{ou}\;(x,y)=\left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\;\text{ou}\;(x,y)=\left(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\\
&\Leftrightarrow z=0\;\text{ou}\;z=i\;\text{ou}\;z=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\;\text{ou}\;z=-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}
\end{align*}
L'ensemble des solutions de l'équation proposée est $\left\{0,i,-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2},-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right\}$.