Savoir faire N°7
Résoudre une équation du second degré à coefficients réels dans $\mathbb{C}$.
On se donne trois réels $a$, $b$ et $c$, $a$ étant non nul. On considère l'équation $(E)$ d'inconnue le nombre complexe $z$ :
\begin{center}
{\Large$az^2+bz+c=0$.}
\end{center}
Il existe alors deux listes de formules.
\begin{center}
\fbox{
\begin{tabular}{p{16.6cm}}
\rule{6cm}{0mm}On pose {\large$\Delta=b^2-4ac$.}
\\
\textbullet~Si $\Delta>0$, l'équation $(E)$ admet deux solutions réelles distinctes\rule[-0.3cm]{0mm}{8mm}
\\
\rule{5cm}{0mm}{\large $z_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$.}
\\
\textbullet~Si $\Delta=0$, l'équation $(E)$ admet une solution réelle double\rule[-0.3cm]{0mm}{8mm}
\\
\hspace{6cm} {\large $z_1=z_2=-\dfrac{b}{2a}$.}
\\
\textbullet~Si $\Delta<0$, l'équation $(E)$ admet deux solutions non réelles conjuguées\rule[-0.3cm]{0mm}{8mm}
\\
\hspace{5cm}{\large $z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.}
\\
\rule{0mm}{2mm}
\end{tabular}
}
\end{center}
\noindent
et aussi, une formule qui résume les trois cas en un seul :
\begin{center}
\fbox{
\begin{tabular}{p{16.6cm}}
\rule{6cm}{0mm}On pose {\large$\Delta=b^2-4ac$,}\rule[-0.3cm]{0mm}{0mm}\\
et on note $\delta$ un nombre complexe tel que $\delta^2=\Delta$.
\\
L'équation $(E)$ admet deux solutions dans $\mbc$\rule[-0.3cm]{0mm}{8mm}
\\
\rule{5cm}{0mm}{\large $z_1=\dfrac{-b+\delta}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b-\delta}{2a}$.}\rule{0mm}{2mm}
\end{tabular}
}
\end{center}
Exemple.
On veut résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$ : $z^2-6z+10=0$.
Le discriminant de cette équation est $\Delta=(-6)^2-4\times1\times10=-4$.
1 ère résolution.
$\Delta$ est strictement négatif et donc l'équation $(E)$ admet deux solutions non réelles conjuguées
$z_1=\dfrac{-(-6)+i\sqrt{-(-4)}}{2\times1}=\dfrac{6+i\sqrt{4}}{2}=\dfrac{6+2i}{2}=3+i$,
et $z_2=\overline{z_1}=3-i$. L'ensemble des solutions de l'équation $(E)$ est donc $\left\{3+i,3-i\right\}$.
2 ème résolution.
$\Delta=-4=(2i)^2$ et donc l'équation $(E)$ admet deux solutions non réelles conjuguées
$z_1=\dfrac{-(-6)+2i}{2\times1}=\dfrac{6+2i}{2}=3+i$,
et $z_2=\overline{z_1}=3-i$. L'ensemble des solutions de l'équation $(E)$ est donc $\left\{3+i,3-i\right\}$.
Remarque.
Si on veut dire que les solutions ne sont pas réelles, on ne dit pas que les solutions sont complexes (car un complexe peut être réel) mais on dit que les solutions sont non réelles.