Savoir faire N°9
Trouver l'affixe du symétrique d'un point par rapport à un autre.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. Soient $A$ et $\Omega$ deux points du plan. On note $B$ le symétrique de $A$ par rapport au point $\Omega$. On écrit que le point $\Omega$ est le milieu du segment $[AB]$ :
{\Large$z_{\Omega}=\dfrac{z_A+z_B}{2}$,}
puis on exprime l'affixe de $B$ en fonction des données qui sont les les affixes des points $A$ et $\Omega$ :
{\Large$z_B=2z_{\Omega}-z_A$.}
Exemple.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. Soient $A$ et $\Omega$ les points de coordonnées respectives $(-1,3)$ et $(2,2)$. Soit $B$ le symétrique du point $A$ par rapport au point $\Omega$.
$z_\Omega=\dfrac{1}{2}(z_A+z_B)$,
et donc
$z_B=2z_{\Omega}-z_A=2(2+2i)-(-1+3i)=4+4i+1-3i=5+i$,
ou encore le point $B$ a pour coordonnées $(5,1)$.
