Savoir faire N°10
Vérifier qu'un quadrilatère est un parallélogramme.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. Soient $A$, $B$ $C$ et $D$ quatre points du plan. On veut vérifier que le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.
1 ère méthode.
On vérifie que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (attention à l'ordre des points) et pour cela on vérifie l'égalité des affixes :
$z_B-z_A=z_C-z_D$.}
2 ème méthode.
On vérifie que les diagonales du quadrilatère $ABCD$ ont même milieu et pour cela on vérifie l'égalité des affixes des milieux :
$\dfrac{z_A+z_C}{2}=\dfrac{z_B+z_D}{2}$.}
Exemple.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ les points de coordonnées respectives $(-3,3)$, $(-2,1)$, $(3,-1)$ et $(2,1)$. On veut vérifier que le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.
1 ère solution.
L'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est
$z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=(-2+i)-(-3+3i)=-2+i+3-3i=1-2i$,
et l'affixe du vecteur $\overrightarrow{DC}$ est
$z_{\overrightarrow{DC}}=z_C-z_D=(3-i)-(2+i)=3-i-2-i=1-2i$.
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ ont la même affixe et donc $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. On en déduit que le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.
2 ème solution.
L'affixe du milieu du segment $[AC]$ est
$\dfrac{z_A+z_C}{2}=\dfrac{(-3+3i)+(3-i)}{2}=i$,
et l'affixe du milieu du segment $[BD]$ est
$\dfrac{z_B+z_D}{2}=\dfrac{(-2+i)+(2+i)}{2}=i$.
Les milieux des segments $[AC]$ et $[BD]$ ont la même affixe ou encore les diagonales du quadrilatère $ABCD$ se coupent en leur milieu. On en déduit que le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.
