Savoir faire N°11
Trouver le point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan. On cherche l'affixe du point $D$ tel que le quadrilatère $ABCD$ soit un parallélogramme.
1 ère méthode.
Le point $D$ est entièrement déterminé par l'égalité $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (attention à l'ordre des points) ce qui fournit l'égalité $z_B-z_A=z_C-z_D$. On exprime ensuite l'affixe du point $D$ en fonction des données c'est-à-dire les affixes des points $A$, $B$ et $C$ :
{\Large$z_D=z_A-z_B+z_C$.}
2 ème méthode.
Le point $D$ est le point tel que les segments $[AC]$ et $[BD]$ aient le même milieu. Ceci fournit l'égalité $\dfrac{z_A+z_C}{2}=\dfrac{z_B+z_D}{2}$.On exprime ensuite l'affixe du point $D$ en fonction des données c'est-à-dire les affixes des points $A$, $B$ et $C$ :
$z_D=z_A-z_B+z_C$.
Exemple.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. Soient $A$, $B$ et $C$ les points de coordonnées respectives $(-1,-3)$, $(-2,1)$ et $(3,-1)$. On cherche l'affixe du point $D$ tel que le quadrilatère $ABCD$ soit un parallélogramme.
1 ère solution.
\begin{align*}
ABCD\;\text{parallélogramme}&\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Leftrightarrow z_B-z_A=z_C-z_D\Leftrightarrow z_D=z_A-z_B+z_C\\
&\Leftrightarrow z_D=(-1-3i)-(-2+i)+(3-i)\Leftrightarrow z_D=-1-3i+2-i+3-i\\
&\Leftrightarrow z_D=4-5i
\end{align*}
Le point $D$ tel que le quadrilatère $ABCD$ soit un parallélogramme est le point de coordonnées $(4,-5)$.
2 ème solution.
\begin{align*}
ABCD\;\text{parallélogramme}&\Leftrightarrow \text{les segments}\;[AC]\;\text{et}\;[BD]\;\text{ont le même milieu}\\
&\Leftrightarrow \dfrac{z_A+z_C}{2}=\dfrac{z_B+z_D}{2}\Leftrightarrow z_A+z_C=z_B+z_D\Leftrightarrow z_D=z_A-z_B+z_C\\
&\Leftrightarrow z_D=(-1-3i)-(-2+i)+(3-i)\Leftrightarrow z_D=-1-3i+2-i+3-i\\
&\Leftrightarrow z_D=4-5i
\end{align*}
Le point $D$ tel que le quadrilatère $ABCD$ soit un parallélogramme est le point de coordonnées $(4,-5)$.