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Savoir faire N°11
Trouver le point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé \left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right). Soient A, B et C trois points du plan. On cherche l'affixe du point D tel que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme.
1 ère méthode.
Le point D est entièrement déterminé par l'égalité \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} (attention à l'ordre des points) ce qui fournit l'égalité z_B-z_A=z_C-z_D. On exprime ensuite l'affixe du point D en fonction des données c'est-à-dire les affixes des points A, B et C :
{\Largez_D=z_A-z_B+z_C.}
2 ème méthode.
Le point D est le point tel que les segments [AC] et [BD] aient le même milieu. Ceci fournit l'égalité \dfrac{z_A+z_C}{2}=\dfrac{z_B+z_D}{2}.On exprime ensuite l'affixe du point D en fonction des données c'est-à-dire les affixes des points A, B et C :
z_D=z_A-z_B+z_C.
Exemple.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé \left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right). Soient A, B et C les points de coordonnées respectives (-1,-3), (-2,1) et (3,-1). On cherche l'affixe du point D tel que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme.
1 ère solution.
\begin{align*}
ABCD\;\text{parallélogramme}&\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Leftrightarrow z_B-z_A=z_C-z_D\Leftrightarrow z_D=z_A-z_B+z_C\\
&\Leftrightarrow z_D=(-1-3i)-(-2+i)+(3-i)\Leftrightarrow z_D=-1-3i+2-i+3-i\\
&\Leftrightarrow z_D=4-5i
\end{align*}
Le point D tel que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme est le point de coordonnées (4,-5).
2 ème solution.
\begin{align*}
ABCD\;\text{parallélogramme}&\Leftrightarrow \text{les segments}\;[AC]\;\text{et}\;[BD]\;\text{ont le même milieu}\\
&\Leftrightarrow \dfrac{z_A+z_C}{2}=\dfrac{z_B+z_D}{2}\Leftrightarrow z_A+z_C=z_B+z_D\Leftrightarrow z_D=z_A-z_B+z_C\\
&\Leftrightarrow z_D=(-1-3i)-(-2+i)+(3-i)\Leftrightarrow z_D=-1-3i+2-i+3-i\\
&\Leftrightarrow z_D=4-5i
\end{align*}
Le point D tel que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme est le point de coordonnées (4,-5).