Savoir faire N°12
Montrer qu'un quadrilatère est un rectangle.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan. Il se trouve que le quadrilatère $ABCD$ est un rectangle et on veut le vérifier.
Il existe de très nombreuses méthodes, certaines brèves et certaines longues.
1 ère méthode.
On vérifie que le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme ayant un angle droit ou encore on vérifie que
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$\quad et \quad$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0$.
C'est la méthode la plus brève et la plus efficace.
2 ème méthode.
On vérifie que le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme et que ses diagonales ont la même longueur ou encore on vérifie que
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$\quad et \quad$AC=BD$.
\textbf{3 ème méthode.} On vérifie que le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme ayant un angle droit. Cependant, l'énoncé d'un exercice nous impose le calcul de $\dfrac{z_D-z_A}{z_B-z_A}$.
On vérifie alors que
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$\quad et \quad$\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]$.
On rappelle que
$\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\text{arg}\left(\dfrac{z_D-z_A}{z_B-z_A}\right)\;[2\pi]$.
Exemple.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. On considère les quatre points $A(-3,-1)$, $B(-2,1)$, $C(6,-3)$ et $D(5,-5)$. On cherche à vérifier que le quadrilatère $ABCD$ est un rectangle.
1 ère solution.
Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont $(-2-(-3),1-(-1))$ ou encore $(1,2)$ et les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{DC}$ sont $(6-5,-3-(-5))$ ou encore $(1,2)$. Par suite,
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$
et donc le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.
Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AD}$ sont $(5-(-3),-5-(-1))$ ou encore $(8,-4)$. Par suite,
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=1\times8+2\times(-4)=0$.
On en déduit que $(AB)\bot(AD)$. Ainsi, le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme qui possède un angle droit et donc le quadrilatère $ABCD$ est un rectangle.
2 ème solution.
Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont $(-2-(-3),1-(-1))$ ou encore $(1,2)$ et les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{DC}$ sont $(6-5,-3-(-5))$ ou encore $(1,2)$. Par suite,
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$
et donc le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.
•$AC=|z_C-z_A|=|(6-3i)-(-3-i)|=|9-2i|=\sqrt{9^2+(-2)^2}=\sqrt{85}$.
•$BD=|z_D-z_B|=|(5-5i)-(-2+i)|=|7-6i|=\sqrt{7^2+(-6)^2}=\sqrt{85}$.
On en déduit que $AC=BD$. Ainsi, le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme et ses diagonales ont la même longueur. Donc le quadrilatère $ABCD$ est un rectangle.
3 ème solution.
Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont $(-2-(-3),1-(-1))$ ou encore $(1,2)$ et les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{DC}$ sont $(6-5,-3-(-5))$ ou encore $(1,2)$. Par suite,
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$
et donc le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.
$\dfrac{z_D-z_A}{z_B-z_A}=\dfrac{(5-5i)-(-3-i)}{(-2+i)-(-3-i)}=\dfrac{8-4i}{1+2i}=\dfrac{-4i(1+2i)}{1+2i}=-4i$.
$-4i$ est un nombre imaginaire pur dont la partie imaginaire est strictement négative. Donc, $\text{arg}(-4i)=-\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]$ puis
$\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\text{arg}\left(\dfrac{z_D-z_A}{z_B-z_A}\right)=-\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]$.
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Ainsi, le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme qui possède un angle droit et donc le quadrilatère $ABCD$ est un rectangle.
