Savoir faire N°14
Montrer qu'un quadrilatère est un carré.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan. Il se trouve que le quadrilatère $ABCD$ est un carré et on veut le vérifier.
1 ère méthode.
On vérifie que le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme puis que $\dfrac{z_D-z_A}{z_B-z_A}=±\pm i$.
En effet si $\dfrac{z_D-z_A}{z_B-z_A}=±\pm i$, alors $\dfrac{AD}{AB}=\left|\dfrac{z_D-z_A}{z_B-z_A}\right|=1$ et $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\text{arg}\left(\dfrac{z_D-z_A}{z_B-z_A}\right)\text{arg}(\pm i)=±\pm\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]$ et donc le parallélogramme $ABCD$ est à la fois un rectangle et un losange ou encore le parallélogramme $ABCD$ est un carré.
2 ème méthode.
On vérifie que le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme est à la fois un rectangle et un losange ou encore on vérifie que le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs perpendiculaires et de même longueur ou encore on vérifie que
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$\quad et \quad$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$\quad et \quad$AB=AD$.
Exemple.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. On considère les quatre points $A(0,3)$, $B(3,2)$, $C(2,-1)$ et $D(-1,0)$. On cherche à vérifier que le quadrilatère $ABCD$ est un carré.
1 ère solution.
Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont $(3-0,2-3)$ ou encore $(3,-1)$ et les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{DC}$ sont $(2-(-1),-1-0)$ ou encore $(3,-1)$. Par suite,
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$
et donc le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.
Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AD}$ sont $(-1-0,0-3)$ ou encore $(-1,-3)$. Par suite,
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=3\times(-1)+(-1)\times(-3)=0$.
D'autre part, $AB=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{10}$ et $AD=\sqrt{(-1)^2+(-3)^2}=\sqrt{10}$. Donc $AB=AD$.
Ainsi, le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs perpendiculaires et de même longueur et donc le quadrilatère $ABCD$ est un carré.
2 ème solution.
Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont $(3-0,2-3)$ ou encore $(3,-1)$ et les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{DC}$ sont $(2-(-1),-1-0)$ ou encore $(3,-1)$. Par suite,
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$
et donc le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.
$\dfrac{z_D-z_A}{z_B-z_A}=\dfrac{(-1)-(3i)}{(3+2i)-(3i)}=\dfrac{-1-3i}{3-i}=\dfrac{-i(3-i)}{3-i}=-i$.
$-i$ est de module $1$ et d'autre part $-i$ est un nombre imaginaire pur dont la partie imaginaire est strictement négative. Donc, $\text{arg}(-i)=-\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]$ puis
$\dfrac{AD}{AB}=\left|\dfrac{z_D-z_A}{z_B-z_A}\right|=|-i|=1$ et $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\text{arg}\left(\dfrac{z_D-z_A}{z_B-z_A}\right)=-\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]$.
Ainsi, le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs perpendiculaires et de même longueur et donc le quadrilatère $ABCD$ est un carré.
