Savoir faire N°15
Montrer que trois points sont alignés.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan deux à deux distincts. Il se trouve que ces points sont alignés et on cherche à le vérifier.
\textbf{1 ère méthode.} La méthode la plus brève et la plus efficace vient de 1 ère S. On note $(x_A,y_A)$, $(x_B,y_B)$ et $(x_C,y_C)$ les coordonnées respectives des points $A$, $B$ et $C$.
Les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont respectivement $(x_B-x_A,y_B-y_A)$ et $(x_C-x_A,y_C-y_A)$.
\begin{align*}
A,\;B,\;\text{et}\;C\;\text{sont alignés}&\Leftrightarrow\text{les vecteurs}\;\overrightarrow{AB}\;\text{et}\;\overrightarrow{AC}\;\text{sont colinéaires}\\
&\Leftrightarrow\left|
\begin{array}{cc}
x_B-x_A&x_C-x_A\\
y_B-y_A&y_C-y_A
\end{array}
\right|=0\\
&\Leftrightarrow( x_B-x_A)(y_C-y_A)-(y_B-y_A)(x_C-x_A)=0.
\end{align*}
(On rappelle que $\left|
\begin{array}{cc}
a&c\\
b&d
\end{array}
\right|=ad-bc$).
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\textbf{2 ème méthode.} Pour montrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés, on cherche à obtenir une égalité de vecteurs du type $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$, $k\in\mathbb{R}$ ou encore à une égalité entre les affixes de ces vecteurs du type :
$z_C-z_A=k(z_B-z_A)$, $k\in\mathbb{R}$.
Exemple.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. Soient $A$, $B$ et $C$ les points de coordonnées respectives $(1,1)$, $(-3,-1)$ et $(4,2)$. On veut montrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
1 ère solution.
Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont $(-3-1,-1-1)$ ou encore $(-4,-2)$ et les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AC}$ sont $(4-1,2-1)$ ou encore $(2,1)$
\begin{align*}
$\left|
\begin{array}{cc}
-4&2\\
-2&1
\end{array}
\right|=(-4)\times1-(-2)\times2=0$.
\end{{align*}
Donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires ou encore les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
2 ème solution.
L'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est
$z_B-z_A=(-3-i)-(1+i)=-3-i-1-i=-4-2i$,
et l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AC}$ est
$z_C-z_A=(3+2i)-(1+i)=3+2i-1-i=2+i$.
On remarque que $z_B-z_A=-2(z_B-z_A)$ ou encore $\overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{AC}$. Ainsi, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires ou encore les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
