Savoir faire N°16
Montrer que trois points ne sont pas alignés.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan deux à deux distincts. Il se trouve que ces points ne sont pas alignés et on cherche à le vérifier.
Nous nous contenterons d'une seule méthode, celle qui vient de 1 ère S. On note $(x_A,y_A)$, $(x_B,y_B)$ et $(x_C,y_C)$ les coordonnées respectives des points $A$, $B$ et $C$.
Les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont respectivement $(x_B-x_A,y_B-y_A)$ et $(x_C-x_A,y_C-y_A)$.
\begin{align*}
A,\;B,\;\text{et}\;C\;\text{ne sont pas alignés}&\Leftrightarrow\text{les vecteurs}\;\overrightarrow{AB}\;\text{et}\;\overrightarrow{AC}\;\text{ne sont pas colinéaires}\\
&\Leftrightarrow\left|
\begin{array}{cc}
x_B-x_A&x_C-x_A\\
y_B-y_A&y_C-y_A
\end{array}
\right|\neq0\\
&\Leftrightarrow( x_B-x_A)(y_C-y_A)-(y_B-y_A)(x_C-x_A)\neq0.
\end{align*}
(On rappelle que $\left|
\begin{array}{cc}
a&c\\
b&d
\end{array}
\right|=ad-bc$).
Exemple.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. Soient $A$, $B$ et $C$ les points de coordonnées respectives $(1,1)$, $(-1,2)$ et $(8,-3)$.
On veut montrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont $(-1-1,2-1)$ ou encore $(-2,1)$ et les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AC}$ sont $(8-1,-3-1)$ ou encore $(7,-4)$
$$\left|
\begin{array}{cc}
-2&7\\
1&-4
\end{array}
\right|=(-2)\times(-4)-1\times7=1\neq0$$.
Donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires ou encore les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
