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Savoir faire N°17

Calculer le module d'un produit ou d'un quotient.

Le module d'un nombre complexe \og fonctionne bien avec la multiplication \fg~et tout ce qui s'y rattache c'est-à-dire les inverses, les quotients et les exposants :

Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$ , $|z\times z'|=|z|\times|z'|$ .

1. Pour tout nombre complexe non nul $z$ , $\left|\dfrac{1}{z}\right|$ .
2. Pour tout nombre complexe $z$ et tout nombre complexe non nul $z'$ , $\left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}$ .

Pour tout nombre complexe $z$ et tout entier naturel non nul $n$ , $\left|z^n\right|=|z|^n$ .

Si on veut le module d'expressions du genre

$(1+i)^{6}$ ,

$\dfrac{1-i}{1+i\sqrt{3}}$ ou

$\dfrac{z^2}{(z-1)^2}$ , on ne doit surtout pas revenir à l'écriture algébrique de ces nombres.

Exemple 1.

On veut le module de

$1731+1731i$ .
}

$\left|1731+1731i\right|=|1731(1+i)|=|1731|\times|1+i|=1731\sqrt{1^2+1^2}=1731\sqrt{2}$ .
Par contre, il serait très maladroit d'écrire

$\left|1731+1731i\right|=\sqrt{1731^2+1731^2}=\sqrt{2996361+2996361}=\sqrt{5992722}$ .

Exemple 2.

On veut le module de

$(1+i)^6$ .

$|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ puis

$\left|(1+i)^6\right|=|1+i|^6=\left(\sqrt{2}\right)^6=2^3=8$ .

Exemple 3.

On veut le module de

$\dfrac{1-i}{1+i\sqrt{3}}$ .

$|1-i|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$ et

$\left|1+i\sqrt{3}\right|=\sqrt{1^2+\left(\sqrt{3}\right)^2}=\sqrt{4}=2$ puis

$\left|\dfrac{1-i}{1+i\sqrt{3}}\right|=\dfrac{|1-i|}{\left|1+i\sqrt{3}\right|}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ .
Par contre, il serait très maladroit d'écrire

$\dfrac{1-i}{1+i\sqrt{3}}=\dfrac{(1-i)\left(1-i\sqrt{3}\right)}{\left(1+i\sqrt{3}\right)\left(1-i\sqrt{3}\right)}=\dfrac{1+i\sqrt{3}-i-i^2\sqrt{3}}{1^2+\left(\sqrt{3}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{4}+i\dfrac{\sqrt{3}-1}{4}$ \end{center}
puis

$\left|\dfrac{1-i}{1+i\sqrt{3}}\right|=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{3}+1}{4}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}-1}{4}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{3+2\sqrt{3}+1}{16}+\dfrac{3-2\sqrt{3}+1}{16}}=\sqrt{\dfrac{8}{16}}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ .