Savoir faire N°18


Placer un point quand on connaît la forme trigonométrique de l'affixe.


Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.
$M$ est un point du plan distinct de $O$. L'affixe de $M$ est notée $z$.
On connaît le module $r$ de $z$ ($r$ est un réel strictement positif) et un argument $\theta$ de $z$ ($\theta$ est un réel) ou encore, on connaît la forme trigonométrique de $z$ :
$z=r\left(\cos(\theta)+i\sin(\theta)\right)=re^{i\theta}$.
On veut placer le point $M$ dans le repère $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.
On part du point $M_0$ de coordonnées $(r,0)$ puis on tourne autour de $O$ d'un angle de mesure $\theta$.




Exemple.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. On veut placer les points $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$ d'affixes respectives
  1. $z_1=3\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)=3e^{i\pi/4}$.}\quad
  2. $z_2=2\left(\cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)\right)=2e^{-2i\pi/3}$.}
  3. $z_3=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=e^{i\pi/2}$.}\quad
  4. $z_4=4\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\right)=4e^{-i\pi/6}$.}

•Pour construire le point $A_1$, nous sommes partis du point de coordonnées $(3,0)$ et nous avons tourné d'un angle de mesure $\dfrac{\pi}{4}$. Nous sommes arrivés sur un point de la première bissectrice qui est la droite d'équation $y=x$ ou encore les deux coordonnées du point $A_1$ sont égales.
•Pour construire le point $A_3$, nous sommes partis du point de coordonnées $(1,0)$ et nous avons tourné d'un angle de mesure $\dfrac{\pi}{2}$. Nous sommes arrivés sur un point de l'axe des ordonnées.
•Pour le point $A_2$ (la démarche est la même pour le point $A_4$), nous sommes partis du point de coordonnées $(2,0)$ et nous avons tourné d'un angle de mesure $-\dfrac{2\pi}{3}$. Pour construire cet angle de mesure $-\dfrac{2\pi}{3}$, nous nous sommes servis du cercle trigonométrique. Nous avons placé sur le cercle trigonométrique le point $B_2$ de coordonnées $\left(\cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right),\sin\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)\right)$ ou encore $\left(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ (en particulier, l'abscisse de $B_2$ est $-\dfrac{1}{2}$ qui est facile à construire). Les points $O$, $B_2$ et $A_2$ sont alors alignés dans cet ordre.