Savoir faire N°19


Lire sur un dessin la forme trigonométrique de l'affixe d'un point.


Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. $z$ est un nombre complexe distinct de $0$, affixe d'un certain point du plan $M$.
Le point $M$ est placé dans le repère $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ et on veut lire le module $r$ de $z$ ($r$ est un réel strictement positif) et un argument $\theta$ de $z$ ($\theta$ est un réel) ou encore, on veut lire la forme trigonométrique de $z$ :
$z=r\left(\cos(\theta)+i\sin(\theta)\right)=re^{i\theta}$.
Pour cela, on lit (quand cela est directement lisible), la distance $OM$ qui est $r$ et une mesure de l'angle $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OM}\right)$ qui est $\theta$. La distance $OM$ s'obtient en traçant au compas le cercle de centre $O$ et passant par $M$ et en lisant l'abscisse du point d'intersection de ce cercle avec la demi-droite d'origine $O$ dirigée par $\overrightarrow{u}$.




Exemple.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. On veut lire la forme trigonométrique des nombres complexes $z_1$ et $z_2$, affixes respectives des points $A_1(0,-3)$ et $A_2\left(-\sqrt{2},\sqrt{2}\right)$.
Immédiatement, $r_1=OA_1=3$ et $\theta_1=\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OA_1}\right)=-\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]$
Pour le point $A_2$, la distance $r_2=OA_2$ est la longueur de la diagonale d'un carré dont le côté a pour longueur $\sqrt{2}$. On sait alors que
$r_2=\text{diagonale}=\text{côté}\times\sqrt{2}=\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2$.
Ensuite, $y_{A_2}=-x_{A_2}$ et donc le point $A_2$ est sur la deuxième bissectrice c'est-à-dire la droite d'équation $y=-x$ qui fait un angle de $45^\circ$ avec l'axe des abscisses. En tenant compte de l'orientation, on obtient plus précisément $\theta_2=\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OA_2}\right)=\dfrac{3\pi}{4}\;[2\pi]$.
  1. $z_1=3\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\right)=3e^{-i\pi/2}$.
  2. $z_2=2\left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\right)=2e^{3i\pi/4}$.




Si les angles ou les longueurs sont plus compliquées, une simple lecture est insuffisante et un calcul est nécessaire. Ce calcul est l'objet des deux fiches suivantes (\no20 et \no21).