Savoir faire N°20


Trouver la forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul


On connaît la forme algébrique d'un nombre complexe complexe non nul $z$ et on cherche sa forme trigonométrique (on rappelle que $0$ n'a pas de forme trigonométrique).
Soit $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont deux réels, l'un au moins de ces deux réels étant non nul.
  1. On commence par calculer le module $r$ de $z$ :
    {\Large$r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}$.
  2. puis on met le module de $z$ en facteur
    {\Large$z=\sqrt{x^2+y^2}\left(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}+i\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$.
  3. Les deux nombres $\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ et $\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$ sont maintenant le cosinus et le sinus d'un nombre réel $\theta$. Pour cela, on dessine un repère et le cerlce trigonométrique, on place le réel $\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ sur l'axe des abscisses et le réel $\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$ sur l'axe des ordonnées puis on lit un réel $\theta$ tel que
    {\Large$\cos(\theta)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ et $\sin(\theta)=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$.

  4. La forme trigonométrique de $z$ ou la forme exponentielle de $z$ est alors
    {\Large$z=r\left(\cos(\theta)+i\sin(\theta)\right)=re^{i\theta}$.}




Exemple.

On veut la forme trigonométrique du nombre $z=-\sqrt{3}+i$.
  1. On calcule le module $r$ de $z$ : $|z|=\sqrt{\left(-\sqrt{3}\right)^2+1^2}=\sqrt{4}=2$.
  2. On met le module de $z$ en facteur : $z=-\sqrt{3}+i=2\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\right)$.
  3. On note $M$ le point d'affixe $z$ et $M_0$ le point d'affixe $\dfrac{z}{|z|}=\dfrac{z}{2}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i$ : $M_0$ est le point du cercle trionométrique tel que les points $O$, $M_0$ et $M$ soient alignés, $M_0$ appartenant à la demi-droite $(OM)$. On place $M_0$ (et pour le principe $M$ aussi) sur une figure et on lit $\theta$.



    $\dfrac{5\pi}{6}$ est un réel tel que $\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}$ et donc

  4. La forme trigonométrique de $z$ (ou la forme exponentielle de $z$) est
    $z=2\left(\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)+i\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)\right)=2e^{5i\pi/6}$.