Savoir faire N°21
Trouver la forme algébrique d'un nombre complexe non nul $z$
quand on connaît sa forme trigonométrique.
On connaît la forme trigonométrique d'un nombre complexe complexe non nul $z$ et on cherche sa forme algébrique (on rappelle que $0$ n'a pas de forme trigonométrique).
Soit $z$ un nombre complexe non nul. On suppose que
{\Large$z=r\left(\cos(\theta)+i\sin(\theta)\right)=re^{i\theta}$.}
où $r$ est un réel strictement positif et $\theta$ est un réel.
On effectue le produit :
$z=r\cos(\theta)+ir\sin(\theta)$,}
{\Large$x=r\cos(\theta)$ et $y=r\sin(\theta)$.}
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Exemple.
Soit $z=2\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\right)=2e^{-i\pi/3}$. On a
$z=2\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\right)=2\left(\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=1-i\sqrt{3}$.
La forme algébrique de $z$ est $1-i\sqrt{3}$.