Savoir faire N°22
Montrer qu'un triangle est rectangle en calculant un produit scalaire.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. On se donne trois points distincts $A(x_A,y_A)$, $B(x_B,y_B)$ et $C(x_C,y_C)$. Il se trouve que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ et on veut le démontrer.
Quand l'énoncé d'un exercice n'impose pas la méthode, le plus efficace est le calcul du produit scalaire $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$. On rappelle que
{\Large $(AB)\bot(AC)\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$.}
On rappelle aussi que
{\Large $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=(x_B-x_A)(x_C-x_A)+(y_B-y_A)(y_C-y_A)$.}
Exemple.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. On considère les trois points $A(-4,1)$, $B(2,-1)$ et $C(-3,4)$.
Le s coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont $(2+4,-1-1)$ ou encore $(6,-2)$ et les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AC}$ sont $(-3+4,4-1)$ ou encore $(1,3)$.
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=6\times1+(-2)\times3=0$.
Donc le triangle $ABC$ est rectangle en $A$
