Savoir faire N°23
Montrer qu'un triangle est rectangle en utilisant le théorème de \textsc{Pythagore}.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. On se donne trois points distincts $A(x_A,y_A)$, $B(x_B,y_B)$ et $C(x_C,y_C)$.
Il se trouve que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ et on veut le démontrer.
La méthode la plus efficace est la méthode de la fiche \no22 (calcul du produit scalaire $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$). Néanmoins, si l'énoncé d'un exercice nous fait d'abord calculer les longueurs des trois côtés du triangle, alors il faut utiliser la réciproque du théorème de \textsc{Pythagore} :
Si $BC^2=AB^2+AC^2$, alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
On rappelle que
$AB=\left|z_B-z_A\right|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.
Exemple.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. On considère les trois points $A(-4,1)$, $B(2,-1)$ et $C(-3,4)$.
•$AB=|z_B-z_A|=|(2-i)-(-4+i)|=|6-2i|=\sqrt{6^2+(-2)^2}=\sqrt{40}$.
•$AC=|z_C-z_A|=|(-3+4i)-(-4+i)|=|1+3i|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$.
•$C=|z_C-z_B|=|(-3+4i)-(2-i)|=|-5+5i|=\sqrt{(-5)^2+5^2}=\sqrt{50}$.
$AB^2+AC^2=40+10=50=BC^2$.
D'après la réciproque du théorème de \textsc{Pythagore}, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
