Savoir faire N°24
Montrer qu'un triangle est rectangle en calculant un angle.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. On se donne trois points distincts $A(x_A,y_A)$, $B(x_B,y_B)$ et $C(x_C,y_C)$. Il se trouve que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ et on veut le démontrer.
La méthode la plus efficace est la méthode de la fiche \no22 (calcul du produit scalaire $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$). Néanmoins, si l'énoncé d'un exercice nous fait d'abord calculer le nombre $\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$, alors il faut utiliser ce résultat pour calculer l'angle $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$. On rappelle que
$\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\text{arg}\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)\;[2\pi]$.
Si il existe un entier relatif $k$ tel que $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ (c'est-dire un quart de tour direct plus des demi-tours), alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
Exemple.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. On considère les trois points $A(-4,1)$, $B(2,-1)$ et $C(-3,4)$.
$\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\dfrac{(-3+4i)-(-4+i)}{(2-i)-(-4+i)}=\dfrac{1+3i}{6-2i}=\dfrac{1+3i}{-2i(1+3i)}=-\dfrac{1}{2i}=\dfrac{1}{2}i$.
Le nombre $\dfrac{1}{2}i$ est un imaginaire pur dont la partie imaginaire, à savoir $\dfrac{1}{2}$, est strictement positive. Donc
$\text{arg}\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)=\text{arg}\left(\dfrac{1}{2}i\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]$.
On en déduit que $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]$ et donc que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
\begin{center}
\begin{pspicture}(-4.5,-3)(4.5,4.5)
\psaxes{->}(0,0)(-4.5,-1.5)(4.5,4.5)
\psdots[linecolor=blue,linewidth=0.4mm](-4,1)(2,-1)(-3,4)
\pspolygon[linecolor=blue,linewidth=0.4mm](-4,1)(2,-1)(-3,4)
\psline[linewidth=0.4mm]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=0.4mm]{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{u}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{v}$}
\uput[ur](0,0){$O$}
\uput[dl](-4,1){\textcolor{blue}{$A$}}
\uput[d](2,-1){\textcolor{blue}{$B$}}
\uput[u](-3,4){\textcolor{blue}{$C$}}
\end{pspicture}
\end{center}