Savoir faire N°25
Montrer qu'un triangle est isocèle en calculant deux longueurs.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. On se donne trois points distincts $A(x_A,y_A)$, $B(x_B,y_B)$ et $C(x_C,y_C)$. Il se trouve que le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ et on veut le démontrer.
Quand l'énoncé d'un exercice n'impose pas la méthode, le plus efficace et la plus brève consiste à vérifier que $AB=AC$.
On rappelle que
$AB=\left|z_B-z_A\right|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.
Exemple.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. On considère les trois points $A(-4,1)$, $B(2,-1)$ et $C(3\sqrt{3}-3,4-\sqrt{3})$. On veut vérifier que le triangle $ABC$ est isocèle en $A$.
t
$AB=\left|z_B-z_A\right|=|(2-i)-(-4-i)|=|6-2i|=\sqrt{6^2+(-2)^2}=\sqrt{40}$. D'autre part,
\begin{align*}\
AC&=\left|z_C-z_A\right|=\left|(3\sqrt{3}-3+i(4-\sqrt{3}))-(-4+i)\right|=\left|3\sqrt{3}+1+i(3-\sqrt{3})\right|\\
&=\sqrt{(3\sqrt{3}+1)^2+(3-\sqrt{3})^2}=\sqrt{\left(3\sqrt{3}\right)^2+6\sqrt{3}+1+9-6\sqrt{3}+3}\\
&=\sqrt{9\times3+13}=\sqrt{40}.
\end{align*}
Ainsi, $AB=AC$ et donc le triangle $ABC$ est isocèle en $A$
\begin{center}
\begin{pspicture}(-4.5,-3)(4.5,4.5)
\psaxes{->}(0,0)(-4.5,-1.5)(4.5,4.5)
\psdots[linecolor=blue,linewidth=0.4mm](-4,1)(2,-1)(2.196,2.268)
\pspolygon[linecolor=blue,linewidth=0.4mm](-4,1)(2,-1)(2.196,2.268)
\psline[linewidth=0.4mm]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=0.4mm]{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{u}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{v}$}
\uput[ur](0,0){$O$}
\uput[dl](-4,1){\textcolor{blue}{$A$}}
\uput[d](2,-1){\textcolor{blue}{$B$}}
\uput[u](2.196,2.268){\textcolor{blue}{$C$}}
\end{pspicture}
\end{center}