EXERCICE 1

PARTIE A

L'énoncé fournit directement
$p(V)=0,02$, $p_V(T)=0,99$ et $p_{\overline{V}}\left(\overline{T}\right)=0,97$.

Représentons la situation par un arbre. \begin{center} \begin{pspicture}(0,-2.2)(7.5,2.2) \psline(0,0)(3,1.5) \psline(0,0)(3,-1.5) \put(3.2,1.4){$V$} \put(3.2,-1.6){$\overline{V}$} \psline(4,1.5)(7,2) \psline(4,1.5)(7,1) \psline(4,-1.5)(7,-2) \psline(4,-1.5)(7,-1) \put(7.2,1.9){$T$} \put(7.2,0.9){$\overline{T}$} \put(7.2,-1.1){$T$} \put(7.2,-2.1){$\overline{T}$} \rput{25}(1.5,1){$0,02$} \rput{-25}(1.5,-1){\textcolor{red}{$0,98$}} \rput{12}(5.5,2){$0,99$} \rput{-12}(5.5,1){\textcolor{red}{$0,01$}} \rput{-12}(5.5,-2){$0,97$} \rput{12}(5.5,-1){\textcolor{red}{$0,03$}} \end{pspicture} \end{center}
On en déduit que $p\left(V\cap T\right)=p(V)\times p_V(T)=0,02\times0,99=0,0198$.

$p\left(V\cap T\right)=0,0198$.

La probabilité demandée est $p(T)$. D'après la formule des probabilités totales, $p(T)=p(T\cap V)+p(T\cap\overline{V})$. D'après la question précédente, $p\left(V\cap T\right)=0,0198$ et d'autre part
\begin{align*} p(T\cap\overline{V})=p(\overline{V})\times p_{\overline{V}}(T)=(1-p(V))(1-p_{\overline{V}}(\overline{T}))=(1-0,02)(1-0,97)=0,98\times0,03=0,0294 ,\end{align*}
et donc $p(T)=0,0198+0,0294=0,0492$.

$p\left(T\right)=0,0492$.

La probabilité demandée est $p_T(V)$. Or,
\begin{align*} p_T(V)=\dfrac{p(V\cap T)}{p(T)}=\dfrac{0,0198}{0,0492}=0,402\ldots \end{align*}
Donc $p_T(V)=0,4$ à $10^{-2}$ près ou encore $p_T(V)=40\%$ à $1\%$ près ce qui justifie la phrase de l'énoncé.
La probabilité demandée est $p_{\overline{T}}(\overline{V})$. Or,
\begin{align*} p_{\overline{T}}(\overline{V})=\dfrac{p(\overline{V}\cap\overline{T})}{p(\overline{T})}. \end{align*}
Ensuite, d'après la question 2), $p(\overline{T})=1-p(T)=1-0,0492=0,9508$ et d'autre part
\begin{align*} p(\overline{V}\cap\overline{T})=p(\overline{V})\times p_{\overline{V}}(\overline{T})=0,98\times0,97=0,9506 \end{align*}
puis $p_{\overline{T}}(\overline{V})=\dfrac{0,9506}{0,9508}=0,9998$ arrondi à $10^{-4}$.

$p_{\overline{T}}(\overline{V})=0,9998$ arrondi à $10^{-4}$.

PARTIE B


La variable aléatoire $X$ est régie par un schéma de \textsc{Bernoulli}. En effet,
• $10$ expériences identiques et indépendantes sont effectuées ;
• chaque expérience a deux issues : « la personne est contaminée par le virus » avec une probabilité $p=0,02$ ou « la personne n'est pas contaminée par le virus » avec une probabilité $1-p=0,98$.
La variable aléatoire $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,02$.
La probabilité demandée est $p(X\geqslant2)$. Or,
\begin{align*} p(X\geqslant2)&=1-p(X=0)-p(X=1)=1-\dbinom{10}{0}\times0,02^0\times0,98^{10}-\dbinom{10}{0}\times0,02^1\times0,98^{9}\\ &=1-0,98^{10}-10\times0,02\times0,98^9=0,0162\;\text{arrondi à}\;10^{-4}. \end{align*}
La probabilité qu'au moins deux personnes soient contaminées est $0,0162$ arrondi à $10^{-3}$.

EXERCICE 2

  1. Réponse 2
  2. Réponses 1 et 4
  3. Réponse 2
  4. Réponse 3

Explication 1.

\begin{align*}\ z_E&=z_A+e^{i\pi/3}(z_D-z_A)=1+\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(-i-1)=1-\dfrac{1}{2}i+\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}i\\ &=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}(1-i). \end{align*}
La bonne réponse est la deuxième.

Explication 2.

(Erreur d'énoncé car deux des réponses sont exactes).
Soit $M$ un point du plan dont l'affixe est notée $z$. \begin{align*} |z+i|=|z-1|\Leftrightarrow|z-z_D|=|z-z_A|\Leftrightarrow MD=MA\Leftrightarrow M\in\text{med}[AD]. \end{align*}
Donc l'ensemble cherché est la médiatrice du segment $[AD]$. Malheureusement, la médiatrice du segment $[AD]$ est aussi la médiatrice du segment $[BC]$ et donc les réponses 1 et 4 sont exactes (et les réponses 2 et 3 sont fausses).
\begin{center} \begin{pspicture}(-2.2,-1.6)(2.2,1.4) \psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm} \psaxes{->}(0,0)(-1.2,-1.1)(1.2,1.1) \psdots[linecolor=blue](-1,0)(0,-1)(1,0)(0,1) \pspolygon[linecolor=blue](1,0)(0,1)(-1,0)(0,-1) \uput[ur](1,0){\textcolor{blue}{$A$}} \uput[r](0,-1){\textcolor{blue}{$D$}} \uput[r](0,1){\textcolor{blue}{$B$}} \uput[ul](-1,0){\textcolor{blue}{$C$}} \psline[linecolor=red](-0.8,0.8)(0.8,-0.8) \end{pspicture} \end{center}

Explication 3.

On note $(E)$ l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ telle que $\dfrac{z+i}{z+1}$ soit un imaginaire pur.
Le point $D$ est élément de $(E)$ car $\dfrac{z_D+i}{z_D+1}=\dfrac{-i+i}{-i+1}=0$ qui est bien un imaginaire pur. Le point $C$ n'est pas un élément de $(E)$ car $z_C+1=0$ et donc $\dfrac{z_C+i}{z_C+1}$ n'existe pas.
Soit $M$ un point du plan distinct de $C$ et $D$ dont l'affixe est notée $z$. \begin{align*} M\in(E)&\Leftrightarrow \dfrac{z+i}{z+1}\;\text{imaginaire pur}\Leftrightarrow\dfrac{z-z_D}{z-z_C}\;\text{imaginaire pur}\\ &\Leftrightarrow\text{arg}\left(\dfrac{z-z_D}{z-z_C}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]\\ &\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{CM},\overrightarrow{DM}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]\\ &\Leftrightarrow M\;\text{appartient au cercle de diamètre}\;[CD]\;\text{privé des points}\;C\;\text{et}\;D. \end{align*}
En récupérant le point $D$, on a montré que $(E)$ est le cercle de diamètre $[CD]$ privé du point $C$. La bonne réponse est la réponse 2.

Explication 4.

On note $(E)$ l'ensemble considéré. Le point $B$ d'affixe $i$ n'appartient pas à $(E)$ car $0$ n'a pas d'argument. Soit $M$ un point du plan d'affixe $z\neq i$. \begin{align*} M\in(E)&\Leftrightarrow\text{il existe un entier relatif}\;k\;\text{tel que}\;\text{arg}(z-i)=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\\ &\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{BM}\right)=-\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]\\ &\Leftrightarrow\text{les vecteurs}\;\overrightarrow{BM}\;\text{et}\;\overrightarrow{BD}\;\text{sont colinéaires et de même sens}\Leftrightarrow M\in]BD). \end{align*}
Donc $(E)$ est la demi-droite d'origine $B$ passant par $D$ et privée du point $B$. La bonne réponse est la troisième.


EXERCICE 3

PARTIE A


a) Pour tout réel $x$, $f_1(x)=xe^{-x}$.
Limite de $f_1$ en $-\infty$. $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}x=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}e^{-x}=\displaystyle\lim_{X\rightarrow+\infty}e^X=+\infty$. Donc $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}f_1(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}xe^{-x}=-\infty$.
Limite de $f_1$ en $+\infty$. Pour tout réel non nul $x$, $f_1(x)=\dfrac{x}{e^x}=\dfrac{1}{e^x/x}$. D'après un théorème de croissances comparées, on sait que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$ et donc $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f_1(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{e^x/x}=0$.

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f_1(x)=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f_1(x)=0$.

b) La fonction $f_1$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$, \begin{align*} f_1'(x)=1\times e^{-x}+x\times(-1)\times e^{-x}=(1-x)e^{-x}. \end{align*}
Pour tout réel $x$, $e^{-x}>0$ et donc pour tout réel $x$, $f'(x)$ est du signe de $1-x$. Par suite, la fonction $f_1'$ est strictement positive sur $]-\infty,1[$ et strictement négative sur $]1,+\infty[$ puis la fonction $f_1$ est strictement croissante sur $]-\infty,1]$ et strictement décroissante sur $[1,+\infty[$. On en déduit le tableau de variations de la fonction $f_1$ : \begin{center} \begin{tabular}{|c|lcccr|} \hline \rule[-2mm]{0mm}{5.5mm}$x$&$-\infty$& &$1$& &$+\infty$ \tabularnewline \hline \rule[-2mm]{0mm}{5.5mm}$f_1'(x)$& &$+$&$0$&$-$& \tabularnewline \hline & & &\rnode{b}{\rule{0mm}{4.5mm}$e^{-1}$}& & \tabularnewline $f_1$& & & & & \tabularnewline &\rnode{a}{$-\infty$}& & & &\rnode{c}{$0$} \tabularnewline \hline \end{tabular} \ncline{->}{a}{b} \ncline{->}{b}{c} \end{center}

c) 2)a) Si un point $M$ appartient à toutes les courbes $\mathscr{C}_n$, $n\geqslant1$, alors $M$ appartient aux courbes $\mathscr{C}_1$ et $\mathscr{C}_2$ et donc son abscisse $x$ est solution de l'équation $f_1(x)=f_2(x)$. Soit $x$ un réel. \begin{align*} f_1(x)=f_2(x)&\Leftrightarrow xe^{-x}=x^2e^{-x}\Leftrightarrow xe^{-x}-x^2e^{-x}=0\Leftrightarrow x(1-x)e^{-x}=0\\ &\Leftrightarrow x(1-x)=0\;(\text{car}\;e^{-x}\neq0)\\ &\Leftrightarrow x=0\;\text{ou}\;x=1. \end{align*}
Les courbes $\mathscr{C}_1$ et $\mathscr{C}_2$ ont exactement deux points communs, les points de coordonnées respectives $(0,0)$ (car $f_1(0)=0$) et $\left(1,\dfrac{1}{e}\right)$ (car $f_1(1)=\dfrac{1}{e}$). Les courbes $\mathscr{C}_n$, $n\geqslant1$, ont donc au plus deux points en commun.
Réciproquement, pour tout entier naturel non nul $n$, $f_n(0)=0^ne^{-0}=0$ et donc le point $O(0,0)$ appartient à toutes les courbes $\mathscr{C}_n$, $n\geqslant1$.
De même, pour tout entier naturel non nul $n$, $f_n(1)=1^n\times e^{-1}=\dfrac{1}{e}$ et donc le point de coordonnées $\left(1,\dfrac{1}{e}\right)$ appartient à toutes les courbes $\mathscr{C}_n$, $n\geqslant1$.

Les courbes $\mathscr{C}_n$, $n\geqslant1$, ont exactement deux points communs, les points de coordonnées $(0,0)$ et $\left(1,\dfrac{1}{e}\right)$.

b) Soit $n\geqslant2$. La fonction $f_n$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$,
\begin{align*} f_n'(x)=nx^{n-1}e^{-x}+x^n(-1)e^{-x}=nx^{n-1}e^{-x}-x^ne^{-x}=x^{n-1}(n-x)e^{-x}. \end{align*}
3) En particulier, pour tout réel $x$, $f_3'(x)=x^2(3-x)e^{-x}$. Donc, la fonction $f_3'$ est strictement positive sur $]-\infty,0[\cup]0,3[$ et strictement négative sur $]3,+\infty[$ puis la fonction $f_3$ est strictement croissante sur $]-\infty,3]$ et strictement décroissante sur $[3,+\infty[$. La fonction $f_3$ admet donc un maximum atteint en $x=3$.
4)a) Soit $k\geqslant2$. Une équation de $T_k$ est $y=f_k(1)+f_k'(1)(x-1)$ avec $f_k(1)=e^{-1}$ et $f_k'(1)=1^{k-1}(k-1)e^{-1}=(k-1)e^{-1}$.
Une équation de $T_k$ est donc $y=e^{-1}+(k-1)e^{-1}(x-1)$ ou encore $y=\dfrac{k-1}{e}x+\dfrac{2-k}{e}$. Ensuite, \begin{align*} \dfrac{k-1}{e}x+\dfrac{2-k}{e}=0\Leftrightarrow\dfrac{1}{e}((k-1)x-(k-2))=0\Leftrightarrow(k-1)x-(k-2)=0\Leftrightarrow(k-1)x=k-2\Leftrightarrow x=\dfrac{k-2}{k-1}. \end{align*}
Donc la tangente $T_k$ coupe l'axe des abscisses au point $A_k$ de coordonnées $\left(\dfrac{k-2}{k-1},0\right)$.
b) Soit $k\geqslant2$. \begin{align*} A_k=A\Leftrightarrow \dfrac{k-2}{k-1}=\dfrac{4}{5}\Leftrightarrow 5(k-2)=4(k-1)\Leftrightarrow 5k-4k=10-4\Leftrightarrow k=6. \end{align*}
$k=6$.

PARTIE B


1) On a $I_1=\displaystyle\int_{0}^{1}xe^{-x}\;dx$. Pour $x$ dans $[0,1]$, posons $u(x)=x$ et $v(x)=-e^{-x}$. Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables sur $[0,1]$ et pour $x$ dans $[0,1]$, on a \begin{center} \begin{tabular}{ccc} \rule[-3mm]{0mm}{0mm}\textcolor{red}{$u(x)=x$}& &$v(x)=-e^{-x}$ \tabularnewline $u'(x)=1$& &\textcolor{red}{$v'(x)=e^{-x}$} \end{tabular} \end{center}
De plus, les fonctions $u'$ et $v'$ sont continues sur $[0,1]$. On peut donc effectuer une intégration par parties et on obtient \begin{align*} I_{1}&=\displaystyle\int_{0}^{1}xe^{-x}\;dx=\left[x(-e^{-x})\right]_0^1-\displaystyle\int_{0}^{1}1(-e^{-x})\;dx\\ &=(-e^{-1})-(0)+\displaystyle\int_{0}^{1}e^{-x}\;dx=-e^{-1}+\left[-e^{-x}\right]_0^1=-e^{-1}-e^{-1}+e^0\\ &=1-2e^{-1}=\dfrac{e-2}{e}. \end{align*}
$I_1=1-2e^{-1}=\dfrac{e-2}{e}$.

2) a) Puisque chaque fonction $f_n$ est continue et positive sur $[0,1]$, $I_n$ est l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine du plan compris entre l'axe des abscisses, la courbe $(\mathscr{C}_n)$ et les droites d'équations respectives $x=0$ et $x=1$. D'après le graphique, il semblerait que la suite $(I_n)_{n\geqslant1}$ soit décroissante.
b) Soit $n\geqslant1$. \begin{align*} I_{n+1}-I_n&=\displaystyle\int_{0}^{1}x^{n+1}e^{-x}\;dx-\displaystyle\int_{0}^{1}x^ne^{-x}\;dx=\displaystyle\int_{0}^{1}(x^{n+1}e^{-x}-x^ne^{-x})\;dx\;(\text{par linéarité de l'intégrale})\\ &=\displaystyle\int_{0}^{1}x^n(x-1)e^{-x}\;dx \end{align*}
Pour tout réel $x$ de $[0,1]$, on a $x^n\geqslant0$, $x-1\leqslant0$ et $e^{-x}\geqslant0$. Donc pour tout réel $x$ de $[0,1]$, on a $x^n(x-1)e^{-x}\leqslant0$. Par croissance de l'intégrale, on en déduit que $\displaystyle\int_{0}^{1}x^n(x-1)e^{-x}\;dx\leqslant0$ ou encore que $I_{n+1}-I_n\leqslant0$.
On a montré que pour tout entier naturel non nul $n$, $I_{n+1}\leqslant I_n$ et donc

la suite $(I_n)_{n\geqslant1}$ est décroissante.

c) D'autre part, chaque fonction $f_n$, $n\geqslant1$, est positive sur $[0,1]$ et donc, par positivité de l'intégrale, pour tout entier naturel non nul $n$, on a $I_n\geqslant0$.
En résumé, la suite $(I_n)_{n\geqslant1}$ est décroissante et minorée par $0$. On en déduit que la suite $(I_n)_{n\geqslant1}$ est convergente.
d) Soit $n\geqslant1$. Pour tout réel $x$ de $[0,1]$, $0\leqslant x^ne^{-x}\leqslant x^n\times1$. Par positivité et croissance de l'intégrale, on en déduit que \begin{align*} 0\leqslant\displaystyle\int_{0}^{1}x^ne^{-x}\;dx\leqslant\displaystyle\int_{0}^{1}x^n\;dx \end{align*}
avec $\displaystyle\int_{0}^{1}x^n\;dx=\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1=\dfrac{1^{n+1}}{n+1}-\dfrac{0^{n+1}}{n+1}=\dfrac{1}{n+1}$. Ainsi, pour tout entier naturel non nul $n$,
\begin{align*} $0\leqslant I_n\leqslant\dfrac{1}{n+1}$. \end{align*}
Puisque $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{n+1}=0$, le théorème des gendarmes permet d'affirmer que

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}I_n=0$.

EXERCICE 4

Partie A - Restitution organisée de connaissances


1) Puisque $H$ est le projeté orthogonal du point $M_0$ sur le plan $\mathscr{P}$ et que $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal à $\mathscr{P}$, les vecteurs $\overrightarrow{M_0H}$ et $\overrightarrow{n}$ sont colinéaires. Par suite, \begin{align*} \left|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{M_0H}\right|=\left\|\overrightarrow{n}\right\|\left\|\overrightarrow{M_0H}\right\|=M_0H\sqrt{a^2+b^2+c^2}. \end{align*}
2) Puisque le point $H$ appartient au plan $\mathscr{P}$, on a $ax_H+by_H+cz_H+d=0$ et donc $ax_H+by_H+cz_H=-d$ puis \begin{align*} \overrightarrow{n}.\overrightarrow{M_0H}&=a(x_H-x_0)+b(y_H-y_0)+c(z_H-z_0)=-ax_0-by_0-cz_0+ax_H+by_H+cz_H\\ &=-ax_0-by_0-cz_0-d. \end{align*} \textbf{3)}
D'après les deux questions précédentes, $|-ax_0-by_0-cz_0-d|=d\left(M_0,\mathscr{P}\right)\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ et, puisque \begin{align*} |-ax_0-by_0-cz_0-d|=|-(ax_0+by_0+cz_0+d)|=|ax_0+by_0+cz_0+d|, \end{align*}
on a montré que

$d\left(M_0,\mathscr{P}\right)=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.

Partie B


1) a) Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont $(-7,1-5)$ et les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AC}$ sont $(-3,2,1)$. S'il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$, on a d'une part $-3=-7k$ et donc $k=\dfrac{3}{7}$ et d'autre part, $2=1\times k$ et donc $k=2$. Ceci est impossible et donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires. Par suite, les point $A$, $B$ et $C$ définissent un plan $\mathscr{P}$.
On note $\mathscr{P}'$ le plan d'équation $x+2y-z-1=0$.
• $x_A+2y_A-z_A-1=4+2-5-1=0$. Donc $A$ appartient à $\mathscr{P}'$.
• $x_B+2y_B-z_B-1=-3+4-0-1=0$. Donc $B$ appartient à $\mathscr{P}'$.
• $x_C+2y_C-z_C-1=1+6-6-1=0$. Donc $C$ appartient à $\mathscr{P}'$.

On en déduit que le plan $(ABC)$ est le plan $\mathscr{P}'$ ou encore qu'une équation cartésienne de $\mathscr{P}$ est $x+2y-z-1=0$.

b) $d=\dfrac{|x_F+2y_F-z_F-1|}{\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}}=\dfrac{|-7+0-4-1|}{\sqrt{6}}=\dfrac{12}{\sqrt{6}}=\dfrac{2\times\sqrt{6}\times\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=2\sqrt{6}$.

$d=2\sqrt{6}$.

2) a) $\Delta$ est la droite passant par $F(-7,0,4)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{n}(1,2,-1)$. Donc, une représentation paramétrique de $\Delta$ est \begin{align*} \left\{ \begin{array}{l} x=-7+t\\ y=2t\\ z=4-t \end{array} \right.,\;t\in\mathbb{R}. \end{align*}
b) Le point $H$ est l'intersection de $\Delta$ et de $\mathscr{P}$. Soit $M(-7+t,2t,4-t)$, $t\in\mathbb{R}$, un point de $\Delta$. \begin{align*} $M\in\mathscr{P}\Leftrightarrow(-7+t)+2(2t)-(4-t)-1=0\Leftrightarrow 6t-12=0\Leftrightarrow t=2$. \end{align*}
Pour $t=2$, on obtient les coordonnées du point $H$ : $(-5,4,2)$.

Le point $H$ a pour coordonnées $(-5,4,2)$.

c) $d\left(F,\mathscr{P}\right)=FH=\sqrt{(-5-(-7))^2+(4-0)^2+(2-4)^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$. On retrouve ainsi le résultat de la question 2)b).

3)a) $FB^2=(x_B-x_F)^2+(y_B-y_F)^2+(z_B-z_F)^2=(-3-(-7))^2+(2-0)^2+(0-4)^2=16+4+16=36$ et donc $FB=6$.

Le point $B$ appartient à $\mathscr{S}$.

b) On note $R$ le rayon de $\mathscr{S}$ (donc $R=6$). Puisque $d=2\sqrt{6}=4,8\ldots$, on a $d < R$ et on sait que l'intersection de $\mathscr{S}$ et de $\mathscr{P}$ est un cercle $\mathscr{C}$ de rayon \begin{align*} $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{36-24}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$. \end{align*}
Le centre de $\mathscr{C}$ est le projeté orthogonal du centre $F$ de la sphère $\mathscr{S}$ sur le plan $\mathscr{P}$. C'est le point $H(-5,4,2)$ déterminé à la question 2)b).

$\mathscr{C}$ est un cercle de rayon $2\sqrt{3}$ et de centre $H(-5,4,2)$.