Les nombres complexes

II. Représentation géométrique d'un nombre complexe

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.
Remarque. Quand on fait de la géométrie faisant intervenir les nombres complexes, on ne peut pas noter $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$ le repère car la lettre $i$ est déjà utilisée pour désigner un certain nombre complexe.

Vocabulaire. A tout point $M$ de coordonnées $(x,y)$, on peut associer le nombre complexe $z_M=x+iy$. On dit alors que $z_M$ est l'affixe du point $M$. Pour noter le fait qu'un nombre complexe $z$ est l'affixe d'un certain point $M$, on peut écrire $M(z)$.
A tout vecteur $\overrightarrow{w}$ de coordonnées $(x,y)$, on peut associer le nombre complexe $z_{\overrightarrow{w}}=x+iy$. On dit alors que $z_{\overrightarrow{w}}$ est l'affixe du vecteur $\overrightarrow{w}$. Pour noter le fait qu'un nombre complexe $z$ est l'affixe d'un certain vecteur $\overrightarrow{w}$, on peut écrire $\overrightarrow{w}(z)$.
Inversement, si $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont deux réels, le point $M$ de coordonnées $(x,y)$ est l'image ponctuelle du nombre complexe $z$ dans le plan et le vecteur $\overrightarrow{u}$ de coordonnées $(x,y)$ est l'image vectorielle du nombre complexe $z$ dans le plan.
Construisons le point $M$ d'affixe $z=x+iy$ et le vecteur $\overrightarrow{w}$ d'affixe $z'=x'+iy'$ quand $x=3$, $y=2$, $x'=-1$ et $y'=2$.


image/svg+xml M ( z ) → u → vOxy → w x ′ y ′


Exercice 5.

  1. Déterminer les affixes des points suivants :

    image/svg+xml123 − 1 − 2 − 312345 − 1 − 2 − 3 − 4 − 5 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 → u → vO
  2. Placer les points d'affixes respectives $z_1=-2-i$, $z_2=-i$, $z_3=4$ et $z_4=-1+2i$

Solution.

1) On note $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$, $z_5$ et $z_6$ les affixes des points $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $A_5$ et $A_6$.
$$z_1=3+2i,\;z_2=-3,\;z_3=i,\;z_4=1-i,\;z_5=-2i,\;z_6=1\;\text{et}\;z_7=0.$$


2)On note $A_1$, $A_2$, $A_3$ et $A_4$ les images ponctuelles des nombres complexes $z_1$, $z_2$, $z_3$ et $z_4$.

image/svg+xml123 − 1 − 2 − 312345 − 1 − 2 − 3 − 4 − 5 A 1 A 2 A 3 A 4 → u → vO



Théorème 8.

  1. Soient $A$ et $B$ deux points du plan. L'affixe du milieu $I$ du segment $[AB]$ est $z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}$.
  2. Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan. L'affixe du centre de gravité $G$ du triangle $ABC$ est $z_G=\dfrac{z_A+z_B+z_C}{3}$.
  3. Soient $A$ et $B$ deux points du plan. L'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est $z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A$.
  4. Soient $\overrightarrow{w}$ et $\overrightarrow{w'}$ deux vecteurs. L'affixe du vecteur $\overrightarrow{w}+\overrightarrow{w'}$ est $z_{\overrightarrow{w}+\overrightarrow{w'}}=z_{\overrightarrow{w}}+z_{\overrightarrow{w'}}$.

Démonstration.

1) Notons respectivement $(x_A,y_A)$ et $(x_B,y_B)$ les coordonnées des points $A$ et $B$ dans le repère $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. Les coordonnées du point $I$ dans le repère $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ sont $\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$. Donc, l'affixe du point $I$ est :
$$z_I=\dfrac{x_A+x_B}{2}+i\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{1}{2}(x_A+iy_A+x_B+iy_B)=\dfrac{1}{2}(z_A+z_B).$$

2) Notons respectivement $(x_A,y_A)$, $(x_B,y_B)$ et $(x_C,y_C)$ les coordonnées des points $A$, $B$ et $C$ dans le repère $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. Les coordonnées du point $G$ dans le repère $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ sont $\left(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3},\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$. Donc, l'affixe du point $G$ :
$$z_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}+i\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}=\dfrac{1}{3}(x_A+iy_A+x_B+iy_B+x_C+iy_C)=\dfrac{1}{3}(z_A+z_B+z_C).$$

3) Notons respectivement $(x_A,y_A)$ et $(x_B,y_B)$ les coordonnées des points $A$ et $B$ dans le repère $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ dans le repère $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ sont $\left(x_B-x_A,y_B-y_A\right)$. Donc, l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est
$$z_{\overrightarrow{AB}}=(x_B-x_A)+i(y_B-y_A)=(x_B+iy_B)-(x_A+iy_A)=z_B-z_A.$$

4) Notons respectivement $(x,y)$ et $(x',y')$ les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{w}$ et $\overrightarrow{w'}$ dans le repère $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{w}+\overrightarrow{w'}$ sont $(x+x',y+y')$. Par suite, $$z_{\overrightarrow{w}+\overrightarrow{w'}}=(x+x')+i(y+y')=(x+iy)+(x'+iy')=z_{\overrightarrow{w}}+z_{\overrightarrow{w'}}.$$



Exercice 6. Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.
On considère les points $A(2,1)$, $B(-5,3)$ et $C(-2,0)$.

  1. Déterminer l'affixe du centre de gravité du triangle $ABC$.
  2. Déterminer l'affixe du point $D$ tel que le quadrilatère $ADBC$ soit un parallélogramme.

Solution.

1) Soit $G$ le centre de gravité du triangle $ABC$.
$$z_G=\dfrac{1}{3}(z_A+z_B+z_C)=\dfrac{1}{3}(2+i-5+3i-2)=-\dfrac{5}{3}+\dfrac{4}{3}i.$$
L'affixe de $G$ est $-\dfrac{5}{3}+\dfrac{4}{3}i$ ou encore les coordonnées de $G$ sont $\left(-\dfrac{5}{3},\dfrac{4}{3}\right)$.
2) Soit $D$ le point tel que le quadrilatère $ADBC$ soit un parallélogramme. On a $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}$ et donc $z_D-z_A=z_B-z_C$ puis
$$z_D=z_A+z_B-z_C=2+i-5+3i+2=-1+4i.$$
L'affixe du point $D$ est $-1+4i$ ou encore le point $D$ a pour coordonnées $(-1,4)$.

image/svg+xml1234 − 112345 − 1 − 2 − 3 − 4 − 5 ABC → u → v G D O

Remarque. Les points d'affixe un nombre réel sont les points de l'axe des abscisses et les points du plan d'affixe un nombre imaginaire pur sont les points de l'axe des ordonnées.


Exercice 7. Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. Pour tout nombre complexe $z$, on pose $z'=(1-i)z+2+i$.
Déterminer et représenter l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ tels que $z'$ soit réel.

Solution.

Soient $x$ et $y$ deux réels. Soient $M$ le point du plan de coordonnées $(x,y)$ puis soit $z=x+iy$ son affixe.
$$z'=(1-i)z+2+i=(1-i)(x+iy)+2+i=x+iy-ix+y+2+i=(x+y+2)+i(-x+y+1).$$
Puisque $x$ et $y$ sont des réels, $\text{Re}(z')=x+y+2$ et $\text{Im}(z')=-x+y+1$. Par suite, $$z'\in\mathbb{R}\Leftrightarrow\text{Im}(z')=0\Leftrightarrow-x+y+1=0\Leftrightarrow y=x-1.$$
L'ensemble cherché est la droite d'équation $y=x-1$.

image/svg+xml123 − 1 − 2 − 3123 − 1 − 2 − 3 O → u → v