Les nombres complexes


III. Conjugué d'un nombre complexe


1) Définition du conjugué


Définition 5.

Soient $x$ et $y$ deux réels puis $z=x+iy$. Le conjugué du nombre complexe $z$ est le nombre complexe noté $\overline{z}$ défini par
$$\overline{z}=x-iy.$$


On peut réexprimer la définition précedente sans utiliser les lettres $x$ et $y$ :
$$\text{pour tout nombre complexe}\;z,\;\overline{z}=\text{Re}(z)+i\;\text{Im}(z).$$
Par exemple, $\overline{(3+2i)}=3-2i$, $\overline{(-5)}=-5$ et $\overline{i}=-i$.



2) Représentation géométrique du conjugué et de l'opposé


On représente dans le plan complexe un point $M_1$ d'affixe $z$ puis les points $M_2$, $M_3$ et $M_4$ d'affixes respectives $\overline{z}$, $-z$ et $-\overline{z}$.

Le point $M_3$ d'affixe $-z$ est le symétrique du point $M_1$ d'affixe $z$ par rapport au point $O$ alors que le point $M_2$ d'affixe $\overline{z}$ est le symétrique du point $M_1$ d'affixe $z$ par rapport à l'axe $(Ox)$. On doit en particulier bien faire attention au fait que $\overline{z}$ n'est pas $-z$.



3) Propriétés de calcul du conjugué


Théorème 9.

  1. Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$, $\overline{(z+z')}=\overline{z}+\overline{z'}$.
  2. Pour tout nombre complexe $z$ et tout nombre réel $k$, $\overline{(kz)}=k\;\overline{z}$.
    1. Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$, $\overline{(z\times z')}=\overline{z}\times\overline{z'}$.
    2. Pour tout nombre complexe non nul $z$, $\overline{\left(\dfrac{1}{z}\right)}=\dfrac{1}{\overline{z}}$.
    3. Pour tout nombre complexe $z$ et tout nombre complexe non nul $z'$, $\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{z'}}$.
    4. Pour tout nombre complexe $z$ et tout entier naturel non nul $n$, $\overline{z^n}=\overline{z}^n$.
  4. Pour tout nombre complexe $z$, $\overline{(\overline{z})}=z$.

On peut résumer les résultats précédents en disant que

« le conjugué fonctionne bien avec toutes les opérations ».

Par exemple, $\overline{\left(\dfrac{3-iz+(3-i)^2}{1+(1+i)z}\right)}=\left(\dfrac{\overline{3}-\overline{i}\times\overline{z}+(\overline{3}-\overline{i})^2}{\overline{1}+(\overline{1}+\overline{i})\overline{z}}\right)=\dfrac{3+i\overline{z}+(3+i)^2}{1+(1-i)\overline{z}}$ (encore une fois, le conjugué de $z$ n'est pas $-z$).

Démonstration.

  1. Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes. Posons $z=x+iy$ et $z'=x'+iy'$ où $x$, $x'$, $y$ et $y'$ sont quatre réels. \begin{align*} \overline{(z+z')}&=\overline{(x+iy)+(x'+iy')}=\overline{(x+x')+i(y+y')}=(x+x')-i(y-y')=(x-iy)+(x'-iy')\\ &=\overline{z}+\overline{z'}. \end{align*}
  2. Soient $z$ un nombre complexe et $k$ un réel. Posons $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont deux réels. \begin{align*}\ \overline{(kz)}&=\overline{k(x+iy)}=\overline{kx+iky}=kx-iky=k(x-iy)\\ &=k\overline{z}. \end{align*}
    1. Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes. Posons $z=x+iy$ et $z'=x'+iy'$ où $x$, $x'$, $y$ et $y'$ sont quatre réels. \begin{align*}\ \overline{((z\times z'))}&=\overline{(x+iy)\times(x'+iy')}=\overline{(xx'-yy')+i(xy'+yx')}=(xx'-yy')-i(xy'-yx')\\ &=(xx'-(-y)(-y'))+i(x(-y')-(-y)x')=(x-iy)\times(x'-iy')=\overline{z}\times\overline{z'}. \end{align*}
    2. Soit $z$ un nombre complexe non nul. D'après la propriété 1), $\overline{z}\times\overline{\left(\dfrac{1}{z}\right)}=\overline{\left(z\times\dfrac{1}{z}\right)}=\overline{1}=1$, et donc $\overline{\left(\dfrac{1}{z}\right)}=\dfrac{1}{\overline{z}}$.
    3. Soit $z$ un nombre complexe et $z'$ un nombre complexe non nul. D'après la propriété 1) et la propriété 3)b), $\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\overline{\left(z\times\dfrac{1}{z'}\right)}=\overline{z}\times\overline{\left(\dfrac{1}{z'}\right)}=\overline{z}\times\dfrac{1}{\overline{z'}}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{z'}}$.
  4. Soit $z$ un nombre complexe. Posons $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont deux réels. Alors $x$ et $-y$ sont deux réels et $\overline{(\overline{z})}=\overline{(x-iy)}=x+iy=z$.



Exercice 8. Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes :

  1. $(1-i)\overline{z}-2+i=0$.
  2. $(3+2i)z+(1-i)\overline{z}=1$.

Solution.

  1. Soit $z$ un nombre complexe. \begin{align*} (1-i)\overline{z}-2+i&=0\Leftrightarrow(1+i)z-2-i=0\;(\text{en conjuguant les deux membres de l'équation})\\ &\Leftrightarrow z=\dfrac{2+i}{1+i}\Leftrightarrow z=\dfrac{(2+i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}\Leftrightarrow z=\dfrac{2-2i+i+1}{1^2+1^2}\Leftrightarrow z=\dfrac{3-i}{2}\Leftrightarrow z=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}i. \end{align*} L'ensemble des solutions de l'équation proposée est $\left\{\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}i\right\}$.
  2. Soit $z$ un nombre complexe. Posons $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont deux réels. \begin{align*}\ (3+2i)z+(1-i)\overline{z}&=(3+2i)(x+iy)+(1-i)(x-iy)=3x+3iy+2ix-2y+x-iy-ix-y\\ &=(4x-3y)+i(x+2y). \end{align*}
    Par suite, \begin{align*}\ (3+2i)z+(1-i)\overline{z}=1&\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} 4x-3y=1\\ x+2y=0 \end{array} \right.\;(\text{par identification des parties réelles et imaginaires})\\ &\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x=-2y\\ 4(-2y)-3y=1 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} y=-\dfrac{1}{11}\\ x=\dfrac{2}{11} \end{array} \right.\Leftrightarrow z=\dfrac{2}{11}-\dfrac{1}{11}i. \end{align*} L'ensemble des solutions de l'équation proposée est $\left\{\dfrac{2}{11}-\dfrac{1}{11}i\right\}$.


4) Caractérisation des réels et des imaginaires purs


Théorème 10

  1. Pour tout nombre complexe $z$, $z$ est réel si et seulement si $\overline{z}=z$.
  2. Pour tout nombre complexe $z$, $z$ est imaginaire pur si et seulement si $\overline{z}=-z$.

Démonstration.
  1. Soit $z$ un nombre complexe.
    $$\overline{z}=z\Leftrightarrow\text{Re}(z)-i\text{Im}(z)=\text{Re}(z)+i\text{Im}(z)\Leftrightarrow2i\text{Im}(z)=0\Leftrightarrow\text{Im}(z)=0\Leftrightarrow z\;\text{est réel}.$$
  2. Soit $z$ un nombre complexe.
    $$\overline{z}=-z\Leftrightarrow\text{Re}(z)-i\text{Im}(z)=-\text{Re}(z)-i\text{Im}(z)\Leftrightarrow2\text{Re}(z)=0\Leftrightarrow\text{Re}(z)=0\Leftrightarrow z\;\text{est imaginaire pur}.$$


Théorème 11

Pour tout nombre complexe $z$,
$$z+\overline{z}=2\text{Re}(z)\;\text{et}\;z-\overline{z}=2i\;\text{Im}(z)$$
et donc aussi
$$\text{Re}(z)=\dfrac{z+\overline{z}}{2}\;\text{et}\;\text{Im}(z)=\dfrac{z-\overline{z}}{2i}.$$

Démonstration. Soit $z$ un nombre complexe.
$$z+\overline{z}=\text{Re}(z)+i\;\text{Im}(z)+\text{Re}(z)-i\;\text{Im}(z)=2\text{Re}(z)\;\text{et} \;z-\overline{z}=\text{Re}(z)+i\;\text{Im}(z)-\text{Re}(z)+i\;\text{Im}(z)=2i\;\text{Im}(z).$$



Remarque. Avec les formules du théorème 11, on retrouve les caractérisations du théorème 10 car par exemple
$$z\in\mathbb{R}\Leftrightarrow \text{Im}(z)=0\Leftrightarrow\dfrac{z-\overline{z}}{2i}=0\Leftrightarrow z-\overline{z}=0\Leftrightarrow\overline{z}=z.$$