Les nombres complexes

IV. Module d'un nombre complexe

1) Définition du module d'un nombre complexe


Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.

Définition 6

Soient $z$ un nombre complexe puis $M$ le point du plan d'affixe $z$. Le module du nombre $z$ est le nombre réel positif noté $|z|$ défini par
$|z|=OM$.


On peut donner deux autres écritures du module d'un nombre complexe.


Théorème 12

Soient $x$ et $y$ deux réels puis $z=x+iy$.
$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}\;\text{et aussi}\;|z|=\sqrt{z\times\overline{z}}.$$


Démonstration. Soient $x$ et $y$ deux réels puis $z=x+iy$. Soit $M$ le point d'affixe $z$. On sait que la distance $OM$ est égale à $\sqrt{x^2+y^2}$ et donc $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$. D'autre part, d'après le théorème 5 de la page 3, $z\times\overline{z}=(x+iy)(x-iy)=x^2+y^2$ et on a donc aussi $|z|=\sqrt{z\times\overline{z}}$.


Exemple. $|3-4i|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.

  1. Remarque 1. Le symbole « racine carrée » n'est autorisé que pour les réels positifs, ce qui est le cas du nombre $x^2+y^2=z\times\overline{z}$, et le symbole "racine carrée"est interdit pour des nombres complexes qui ne sont pas des réels positifs.
    En effet, le symbole $\sqrt{2}$ par exemple désigne l'unique réel positif dont le carré est égal à $2$. On note qu'il existe un autre réel dont le carré vaut $2$ : le nombre $-\sqrt{2}$.
    Mais pour le nombre $-2i$ par exemple, on a $(1-i)^2=(-1+i)^2=-2i$ et on ne peut pas parler de la racine carrée de $-2i$ car on ne sait pas choisir entre $-1+i$ et $1-i$. On ne peut donc pas écrire le nombre $-2i$ sous le symbole $\sqrt{\quad}$.
  2. Remarque 2. Revenons sur le calcul de l'inverse d'un nombre complexe non nul. Soit $z$ un nombre complexe non nul.
    Posons $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont deux réels, l'un au moins de ces deux réels n'étant pas nul.
    On rappelle que l'inverse de $z$ se calcule ainsi : $$\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{x+iy}=\dfrac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)}=\dfrac{x-iy}{x^2+y^2}=\dfrac{x}{x^2+y^2}-i\dfrac{y}{x^2+y^2}.$$ Pour rendre réel le dénominateur de la fraction $\dfrac{1}{z}$, nous avons multiplié par le conjugué de $z$. Ce faisant, nous avons obtenu en dénominateur $z\times\overline{z}=|z|^2$. Le calcul précédent peut donc se réécrire
    $$\dfrac{1}{z}=\dfrac{\overline{z}}{z\times\overline{z}}=\dfrac{\overline{z}}{|z|^2}.$$
  3. Remarque 3. Si $z$ est un nombre complexe qui est en particulier un nombre réel le module du réel $z$ n'est autre que la valeur absolue du réel $z$.

Théorème 13.

Soient $A(x_A,y_A)$ et $B(x_B,y_B)$ deux points du plan.
$$AB=|z_B-z_A|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.$$


Démonstration. L'égalité $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$ est connue depuis longtemps.
D'autre part, $z_B-z_A=(x_B-x_A)+i(y_B-y_A)$ et donc $|z_B-z_A|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=AB$.



Exercice 9. Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. On considère les points $A(1,1)$, $B(-3,-1)$ et $C(-6,5)$. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.

1 ère solution. Les affixes des points $A$, $B$ et $C$ sont respectivement $z_A=1+i$, $z_B =-3-i$ et $z_C=-6+5i$. Par suite, $BA^2+BC^2=|z_B-z_A|^2+|z_B-z_C|^2=20+45=65=|z_A-z_C|^2=CA^2$.
D'après la réciproque du théorème de \textsc{Pythagore}, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.

2 ème solution. Les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont respectivement $(4,2)$ et $(-3,6)$ puis
$$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=4\times(-3)+2\times 6=-12+12=0.$$
Par suite, $(BA)\bot(BC)$ et donc le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.


Théorème 14.

  1. Pour tout nombre complexe $z$, $|z|\geqslant0$.
  2. Pour tout nombre complexe $z$ : $|z|=0\Leftrightarrow z=0$.

Démonstration.

  1. Est immédiat.
  2. $|0|=\sqrt{0^2+0^2}=0$ et donc si $z=0$, alors $|z|=0$. Réciproquement, soit $z$ un nombre complexe tel que $|z|=0$.`
    Soit $M$ le point du plan d'affixe $z$. On a $OM=0$ puis $M=O$ et donc $z=0$.


Remarque 1. Dans la démonstration du théorème 6 page 3, on a déjà démontré que si $|z|=0$ alors $z=0$, mais de manière plus compliquée (on avait montré que si $x$ et $y$ étaient deux réels tels que $x^2+y^2=0$, alors $x=y=0$.)

Remarque 2. Dans le théorème précédent, on a écrit $|z|\geqslant0$. Ceci est une inégalité entre nombres réels et on a bien sûr le droit d'écrire des inégalités entre nombres réels. Par contre, on n'a pas le droit d'écrire des inégalités entre des nombres complexes qui ne sont pas des nombres réels.
Donnons une vague justification de cette interdiction. Si on se permet d'écrire des inégalités entre nombres complexes, dans quel ordre sont les nombres $0$ et $i$ ? Si $i$ est positif, alors $i^2=i\times i=-1$ est positif ce qui est impossible et si $i$ est négatif, alors $-i$ est positif puis $(-i)^2=-1$ ce qui est également impossible. Finalement, on n'arrive pas à classer les nombres $0$ et $i$.



2) Propriétés algébriques du module d'un nombre complexe


Théorème 15.

Pour tout nombre complexe $z$, $|\overline{z}|=|-z|=|-\overline{z}|=|z|$.


Démonstration. Soit $z$ un nombre complexe. Posons $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont deux réels. Les quatre nombres complexes $z$, $\overline{z}$, $-z$ et $-\overline{z}$ s'écrivent sous la forme $\pm x\pm iy$. Mais alors
$|\overline{z}|=|-z|=|-\overline{z}|=\sqrt{(\pm x)^2+(\pm y)^2}=\sqrt{x^2+y^2}=|z|$.



Théorème 16.

  1. Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$, $|z\times z'|=|z|\times|z'|$.
  2. Pour tout nombre complexe non nul $z$, $\left|\dfrac{1}{z}\right|=\dfrac{1}{|z|}$.
  3. Pour tout complexe $z$ et tout complexe non nul $z'$, $\left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}$.
  4. Pour tout complexe $z$ et tout entier naturel non nul $n$, $|z^n|=|z|^n$.

Démonstration.

  1. Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes. D'après le théorème 9, page 9,
    $$|z\times z'|^2=(z\times z')\times\overline{(z\times z')}=(z\times\overline{z})\times (z'\times\overline{z'})=|z|^2\times|z'|^2=(|z|\times|z'|)^2.$$
    Puisque les nombres $|z\times z'|$ et $|z|\times|z'|$ sont des réels positifs et ont des carrés égaux, on en déduit que ces nombres sont égaux.

  2. Soit $z$ un nombre complexe non nul.
    $$|z|\times\left|\dfrac{1}{z}\right|=\left|z\times\dfrac{1}{z}\right|=|1|=\sqrt{1^2+0^2}=1,$$ et donc $\left|\dfrac{1}{z}\right|=\dfrac{1}{|z|}$.

  3. Soient $z$ un nombre complexe et $z'$ un nombre complexe non nul. D'après 1) et 2)
    $$\left|\dfrac{z}{z'}\right|=\left|z\times\dfrac{1}{z'}\right|=|z|\times\left|\dfrac{1}{z'}\right|=|z|\times\dfrac{1}{|z'|}=\dfrac{|z|}{|z'|}.$$
  4. Soit $z$ un nombre complexe. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel non nul $n$, $|z^n|=|z|^n$.
    • Pour $n=1$, $|z^1|=|z|=|z^1|$ et donc la formule proposée est vraie quand $n=1$.
    • Soit $n\geqslant1$. Supposons que $|z^n|=|z|^n$. D'après la propriété 1), on a alors
      $$|z^{n+1}|=|z^n\times z|=|z^n|\times|z|=|z|^n\times|z|=|z|^{n+1}.$$
      Le résultat est démontré par récurrence.


Exercice 10. Calculer le module de $\dfrac{\sqrt{3}+i}{1-i}$ et le module de $(1+i)^5$.


Solution.

$\left|\dfrac{\sqrt{3}+i}{1-i}\right|=\dfrac{|\sqrt{3}+i|}{|1-i|}=\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2+1^2}}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$
et
$\left|(1+i)^5\right|=|1+i|^5=\left(\sqrt{1^2+1^2}\right)^5=\left(\sqrt{2}\right)^5=4\sqrt{2}$.


Remarque. Il aurait été très maladroit de rendre d'abord réel le dénominateur de la fraction en écrivant
$$\dfrac{\sqrt{3}+i}{1-i}=\dfrac{(\sqrt{3}+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}$$ ou aussi de développer la puissance 5-ème avant de calculer son module.


Exercice 11. Déterminer l'ensemble des nombres complexes $z$ tels que $\dfrac{z-1}{z+1}$ soit de module $1$.


Solution.

Soit $z$ un nombre complexe distinct de $-1$. Soient $M$ le point d'affixe $z$, $A$ le point d'affixe $1$ et $B$ le point d'affixe $-1$.
\begin{align*} \left|\dfrac{z-1}{z+1}\right|=1&\Leftrightarrow\dfrac{|z-1|}{|z+1|}=1\Leftrightarrow|z-1|=|z+1|\Leftrightarrow|z-z_A|=|z-z_B|\Leftrightarrow AM=BM\\ &\Leftrightarrow M\;\text{appartient à la médiatrice du segment}\;[AB]\\ &\Leftrightarrow M\;\text{appartient à l'axe}\;(Oy)\\ &\Leftrightarrow z\;\text{est imaginaire pur}. \end{align*}



3) L'inégalité triangulaire


Théorème 17.

Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$, $|z+z'|\leqslant|z|+|z'|$.


Démonstration. Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes. Soient $\overrightarrow{w}$ et $\overrightarrow{w'}$ les vecteurs d'affixes respectives $z$ et $z'$. $$|z+z'|=\left\|\overrightarrow{w}+\overrightarrow{w'}\right\|\leqslant\left\|\overrightarrow{w}\right\|+\left\|\overrightarrow{w'}\right\|=|z|+|z'|.$$
On peut aussi donner une démonstration n'utilisant que les nombres complexes et n'utilisant pas des résultats antérieurs sur les vecteurs.
\begin{align*} |z+z'|^2&=(z+z')\times\overline{(z+z')}=(z+z')\times(\overline{z}+\overline{z'})=z\overline{z}+z\overline{z'}+z'\overline{z}+z'\overline{z'}\\ &=|z|^2+(z\overline{z'})+\overline{(z\overline{z'})}+|z'|^2=|z|^2+2\text{Re}(z\overline{z'})+|z'|^2. \end{align*} Maintenant, si $X$ et $Y$ sont deux réels et $Z=X+iY$, $\text{Re}(Z)=X\leqslant|X|=\sqrt{X^2}\leqslant\sqrt{X^2+Y^2}=|Z|$. Par suite,
\begin{align*} |z+z'|^2&=|z|^2+2\text{Re}(z\overline{z'})+|z'|^2\\ &\leqslant|z|^2+2\left|z\overline{z'}\right|+|z'|^2=|z|^2+2|z|\left|\overline{z'}\right|+|z'|^2=|z|^2+2|z||z'|+|z'|^2=\left(|z|+|z'|\right)^2. \end{align*} Puisque les deux nombres $|z+z'|$ et $|z|+|z'|$ sont des réels positifs et que la fonction $t\mapsto \sqrt{t}$ est croissante sur $[0,+\infty[$, on en déduit que
$$|z+z'|=\sqrt{|z+z'|^2}\leqslant\sqrt{(|z|+|z'|)^2}=|z|+|z'|.$$