Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres réels tels que $a\neq0$. Pour tout nombre complexe $z$, on a
\begin{align*}
az^2+bz+c&=a\left[z^2+\dfrac{b}{a}z+\dfrac{c}{a}\right]=a\left[z^2+2\times\dfrac{b}{2a}z+\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}\right]\\
&=a\left[\left(z^2+2\times\dfrac{b}{2a}z+\dfrac{b^2}{4a^2}\right)-\left(\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{c}{a}\right)\right]=a\left[\left(z+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{c}{a}\right)\right]\\
&=a\left[\left(z+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right]\quad(*).
\end{align*}
Cette dernière écriture est la forme canonique du trinôme du second degré $az^2+bz+c$. La différence fondamentale
entre l'expression $az^2+bz+c$ et l'expression $a\left[\left(z+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right]$ est que dans la deuxième expression,
la lettre $z$ apparaît une fois et une seule. On comprend ainsi les opérations successives effectuées à partir de la
variable $z$.
Ainsi, si $\Delta < 0$, l'équation $(E)$ admet deux solutions non réelles conjuguées (et donc distinctes) $z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.
Soient $a$, $b$ et $c$ trois réels tels que $a\neq0$. Soit $(E)$ l'équation $az^2+bz+c$ d'inconnue le nombre complexe $z$.
On pose $\Delta=b^2-4ac$.
Exercice 12. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$ : $z^2-6z+13=0$.
Le discriminant $\Delta$ de l'équation $(E)$ est :
$$\Delta=(-6)^2-4\times13=36-52=-16 < 0.$$
L'équation $(E)$ admet donc deux solutions non réelles conjuguées :
$z_1=\dfrac{-(-6)+i\sqrt{-(-16)}}{2}=\dfrac{-(-6)+i\sqrt{16}}{2}=\dfrac{6+4i}{2}=3+2i$
et $z_2=\overline{z_1}=3-2i$. L'ensemble des solutions de l'équation $(E)$ dans $\mathbb{C}$ est $\{3+2i,3-2i\}$.
Remarque. Dans les trois cas ($\Delta < 0$, $\Delta=0$ et $\Delta > 0$), on a une écriture unique des solutions :
Soient $a$, $b$ et $c$ trois réels tels que $a\neq0$. Soit $(E)$ l'équation $az^2+bz+c$ d'inconnue le nombre complexe $z$.
On pose $\Delta=b^2-4ac$ et on note $\delta$ un nombre complexe tel que $\delta^2=\Delta$.
L'équation $(E)$ admet deux solutions dans $\mathbb{C}$
$$z_1=\dfrac{-b+\delta}{2a}\;\text{et}\;z_2=\dfrac{-b-\delta}{2a}.$$
Avec cet énoncé, la rédaction de la résolution change légèrement :
Le discriminant $\Delta$ de l'équation $(E)$ est :
$$\Delta=(-6)^2-4\times13=36-52=-16=(4i)^2.$$
L'équation $(E)$ admet donc deux solutions non réelles conjuguées :
$$z_1=\dfrac{-(-6)+4i}{2}=3+2i\;\text{et}\;z_2=\overline{z_1}=3-2i.$$
L'ensemble des solutions de l'équation $(E)$ dans $\mathbb{C}$ est $\{3+2i,3-2i\}$.
Exercice 13. Soit $\theta\in]0,\pi[$. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$ : $z^2-2z\cos(\theta)+1=0$.
Soit $\theta$ un réel élément de $]0,\pi[$. Le discriminant $\Delta$ de l'équation $(E)$ est :
$$\Delta=4\cos^2(\theta)-4=4(\cos^2(\theta)-1)=-4\sin^2(\theta) < 0\;(\text{car}\;\theta\in]0,\pi[).$$
Puisque $\Delta=(2i\sin(\theta))^2$, l'équation $(E)$ admet deux solutions non réelles conjuguées
$$z_1=\dfrac{2\cos(\theta)+2i\sin(\theta)}{2}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)\;\text{et}\;z_2=\overline{z_1}=\cos(\theta)-i\sin(\theta).$$
L'ensemble des solutions de l'équation $(E)$ dans $\mathbb{C}$ est $\{\cos(\theta)+i\sin(\theta),\cos(\theta)-i\sin(\theta)\}$.