Savoir faire N°1
Effectuer des additions et des multiplications avec les nombres complexes.
On calcule dans $\mathbb{C}$ comme on calcule dans $\mathbb{R}$ à la nuance près que quand on rencontre $i^2$, on le remplace par $-1$. En fin de calcul, on regroupe les termes réels et les termes imaginaires purs pour finir sur une expression du type $a+ib$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
Exemple.
On veut calculer $(-3+i)(1+2i)-(1-i)^2$.
\begin{align*}
(-3+i)(1+2i)-(1-i)^2&=(-3-6i+i+2i^2)-(1-2i+i^2)=(-3-6i+i-2)-(1-2i-1)\\
&=(-5-5i)-(-2i)=-5-5i+2i=-5-3i.
\end{align*}
Conseil.
Si vous avez l'habitude de faire beaucoup d'erreurs de calcul, ne sautez pas d'étape. En particulier, ne sautez pas l'étape où on écrit explicitement $i^2$ (écrivez $(-3+i)(1+2i)=(-3-6i+i+2i^2)=(-3-6i+i-2)$ au lieu de $(-3+i)(1+2i)=(-3-6i+i-2)$). L'égalité $i^2=-1$ fait commettre beaucoup d'erreurs et en maths, on n'a pas le droit de trouver un résultat faux.
Remarque.
Notez l'analogie du calcul précédent avec le calcul suivant où on a remplacé $i$ par $\sqrt{2}$ :
\begin{align*}
\left(-3+\sqrt{2}\right)\left(1+2\sqrt{2}\right)-\left(1-\sqrt{2}\right)^2&=\left(-3-6\sqrt{2}+\sqrt{2}+2\sqrt{2}^2\right)-\left(1-2\sqrt{2}+\sqrt{2}^2\right)\\
&=\left(-3-6\sqrt{2}+\sqrt{2}+4\right)-\left(1-2\sqrt{2}+2\right)=\left(1-5\sqrt{2}\right)-\left(3-2\sqrt{2}\right)\\
&=-2-3\sqrt{2}.
\end{align*}
Dans le deuxième calcul, on utilise le fait que $\sqrt{2}$ est un nombre dont le carré vaut $2$ et dans le premier, on utilise le fait que le carré de $i$ vaut $-1$.
