Savoir faire N°2


Trouver la forme algébrique de l'inverse d'un nombre complexe non nul.


Soient $x$ et $y$ deux nombres réels puis $z=x+iy$. On suppose que $z$ n'est pas nul et on veut trouver les parties réelles et imaginaires de $\dfrac{1}{z}$.
  1. On multiplie le numérateur et le dénominateur de la fraction $\dfrac{1}{x+iy}$ par le conjugué $x-iy$ du dénominateur : $$\dfrac{1}{x+iy}=\dfrac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)}.$$
  2. Le dénominateur est maintenant un nombre réel strictement positif. Pour le voir clairement, on utilise l'identité remarquable $$(x+iy)(x-iy)=x^2+y^2\quad\text{ou encore}\quad z\times\overline{z}=|z|^2.$$
  3. L'inverse s'écrit maintenant $$\dfrac{1}{x+iy}=\dfrac{x-iy}{x^2+y^2}=\dfrac{x}{x^2+y^2}-i\dfrac{y}{x^2+y^2}$$ et on a ainsi déterminé sa partie réelle et sa partie imaginaire.



Exemple.

On veut l'inverse du nombre complexe non nul $-3-2i$. $$\dfrac{1}{-3-2i}=\dfrac{-3+2i}{(-3-2i)(-3+2i)}=\dfrac{-3+2i}{(-3)^2+(-2)^2}=-\dfrac{3}{13}+\dfrac{2}{13}i.$$ En dénominateur, la partie réelle de $-3-2i$ est $-3$ et la partie imaginaire de $-3-2i$ est $-2$ (et non pas $-2i$). Donc $(-3-2i)(-3+2i)$ est la somme des carrés des parties réelle et imaginaire c'est-à-dire $(-3)^2+(-2)^2$.