Savoir faire N°3


Trouver la forme algébrique d'un quotient.


On veut calculer le quotient $\dfrac{a+ib}{c+id}$ où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont quatre réels tels que $c+id\neq0$.
  1. On multiplie le numérateur et le dénominateur de la fraction $\dfrac{a+ib}{c+id}$ par le conjugué $c-id$ du dénominateur : $$\dfrac{a+ib}{c+id}=\dfrac{(a+ib)(c-id)}{(c+id)(c-id)}.$$
  2. Le dénominateur est maintenant un nombre réel strictement positif. Pour le voir clairement, on utilise l'identité remarquable $$(c+id)(c-id)=c^2+d^2.$$
  3. Le quotient s'écrit alors $$\dfrac{(a+ib)(c-id)}{c^2+d^2}=\dfrac{(ac+bd)+i(-ad+bc)}{c^2+d^2}=\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+i\dfrac{-ad+bc}{c^2+d^2}$$ et on a ainsi déterminé sa partie réelle et sa partie imaginaire.


Exemple.

On veut calculer $\dfrac{1-i}{1+i}$. $$\dfrac{1-i}{1+i}=\dfrac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\dfrac{(1-i)^2}{1^2+1^2}=\dfrac{1-2i+i^2}{2}=\dfrac{1-2i-1}{2}=\dfrac{-2i}{2}=-i.$$ En dénominateur, la partie réelle de $1+i$ est $1$ et la partie imaginaire de $1+i$ est $1$ (et non pas $i$). Donc $(1+i)(1-i)$ est la somme des carrés des parties réelle et imaginaire c'est-à-dire $1^2+1^2$.