Savoir faire N°4
Résoudre une équation du premier degré dans $\mathbb{C}$.
Pour résoudre une équation du premier degré dans $\mathbb{C}$ (du type $az+b=0$ où $a$ est un complexe non nul et $b$ est un complexe), on ne pose pas $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont deux réels mais on cherche directement $z$ en pratiquant de la même façon que dans $\mathbb{R}$. En fin de calcul, on obtient $z$ comme un quotient de deux nombres complexes qu'il s'agit de calculer (voir Savoir-faire \no 3).
Exemple.
On veut résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$ : $(1+i)z-3-i=2iz-1$.
Soit $z$ un nombre complexe.
\begin{align*}
(1+i)z-3-i=2iz-1&\Leftrightarrow (1+i)z-2iz=-1+3+i\Leftrightarrow(1+i-2i)z=-1+3+i\Leftrightarrow(1-i)z=2+i\\
&\Leftrightarrow z=\dfrac{2+i}{1-i}\Leftrightarrow z=\dfrac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}\Leftrightarrow z=\dfrac{2+2i+i+i^2}{1^2+(-1)^2}\Leftrightarrow z=\dfrac{2+2i+i-1}{1^2+(-1)^2}\\
&\Leftrightarrow z=\dfrac{1+3i}{2}\Leftrightarrow z=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}i.
\end{align*}
L'ensemble des solutions de l'équation proposée est $\left\{\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}i\right\}$.
