Savoir faire N°5
Résoudre une équation du premier degré dans $\mathbb{C}$, l'inconnue étant conjuguée.
Pour résoudre une équation du premier degré dans $\mathbb{C}$ où l'inconnue est conjuguée (du type $a\overline{z}+b=0$ où $a$ est un complexe non nul et $b$ est un complexe), on ne pose pas $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont deux réels.
1 ère méthode. On cherche directement $\overline{z}$ en pratiquant de la même façon que pour l'équation $az+b=0$. En fin de calcul, on obtient la valeur de $\overline{z}$ et on conjugue les deux membres de l'égalité pour obtenir $z$.
2 ème méthode. On conjugue dès le départ les deux membres de l'égalité et on se ramène ainsi à une équation du premier degré d'inconnue $z$.
Exemple.
On veut résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$ : $(1+2i)\overline{z}-i=0$.
1 ère solution.
Soit $z$ un nombre complexe.
\begin{align*}
(1+2i)\overline{z}-i=0&\Leftrightarrow (1+2i)\overline{z}=i\Leftrightarrow\overline{z}=\dfrac{i}{1+2i}\Leftrightarrow \overline{z}=\dfrac{i(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}\Leftrightarrow \overline{z}=\dfrac{i-2i^2}{(1+2i)(1-2i)}\Leftrightarrow \overline{z}=\dfrac{2+i}{1^2+2^2}\\
&\Leftrightarrow \overline{z}=\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{5}i\Leftrightarrow z=\dfrac{2}{5}-\dfrac{1}{5}i.
\end{align*}
L'ensemble des solutions de l'équation proposée est $\left\{\dfrac{2}{5}-\dfrac{1}{5}i\right\}$.
2 ème solution. Soit $z$ un nombre complexe.
\begin{align*}
(1+2i)\overline{z}-i=0&\Leftrightarrow (1-2i)z+i=0\;(\text{en conjuguant les deux membres de l'équation})\\
&\Leftrightarrow z=\dfrac{-i}{1-2i}\Leftrightarrow z=\dfrac{-i(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}\Leftrightarrow z=\dfrac{2-i}{1^2+(-2)^2}\Leftrightarrow z=\dfrac{2}{5}-\dfrac{1}{5}i.
\end{align*}
L'ensemble des solutions de l'équation proposée est $\left\{\dfrac{2}{5}-\dfrac{1}{5}i\right\}$.
Explications. Pour conjuguer l'expression $(1+2i)\overline{z}-i$, on doit se rappeler que
Le conjugué fonctionne bien avec toutes les opérations
et aussi que pour tout nombre complexe $z$
$\overline{(\overline{z})}=z$.
Ainsi, $\overline{(1+2i)\times\overline{z}-i}=\overline{(1+2i)}\times\overline{(\overline{z})}-\overline{i}=(1-2i)z-(-i)=(1-2i)+i$.
