Savoir faire N°26
Montrer qu'un triangle est équilatéral en calculant trois longueurs.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. On se donne trois points distincts $A(x_A,y_A)$, $B(x_B,y_B)$ et $C(x_C,y_C)$. Il se trouve que le triangle $ABC$ est équilatéral et on veut le démontrer.
Le plus bref consiste à montrer que $AB=AC=BC$. On rappelle pour cela que
$AB=\left|z_B-z_A\right|$. Ensuite
Exemple.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. On considère les trois points $A(-4,1)$, $B(2,-1)$ et $C(\sqrt{3}-1,3\sqrt{3})$. On veut vérifier que le triangle $ABC$ est équilatéral.
t
$AB=|z_B-z_A|=|(2-i)-(-4+i)|=|6-2i|=\sqrt{6^2+(-2)^2}=\sqrt{40}$. Ensuite,
\begin{align*}\
AC&=|z_C-z_A|=\left|\left(\sqrt{3}-1+3i\sqrt{3}\right)-(-4+i)\right|=\left|\left(\sqrt{3}+3\right)+i\left(3\sqrt{3}-1\right)\right|\\
&=\sqrt{\left(\sqrt{3}+3\right)^2+\left(3\sqrt{3}-1\right)^2}=\sqrt{3+6\sqrt{3}+9+\left(3\sqrt{3}\right)^2-6\sqrt{3}+1}\\
&\sqrt{13+9\times3}=\sqrt{40},
\end{align*}
et
\begin{align*}\
BC&=|z_C-z_B|=\left|\left(\sqrt{3}-1+3i\sqrt{3}\right)-(2-i)\right|=\left|\left(\sqrt{3}-3\right)+i\left(3\sqrt{3}+1\right)\right|\\
&=\sqrt{\left(\sqrt{3}-3\right)^2+\left(3\sqrt{3}+1\right)^2}=\sqrt{3-6\sqrt{3}+9+\left(3\sqrt{3}\right)^2+6\sqrt{3}+1}\\
&=\sqrt{13+9\times3}=\sqrt{40}.
\end{align*}
Ainsi, $AB=AC=BC$ et donc le triangle $ABC$ est équilatéral.
\begin{center}
\begin{pspicture}(-4.5,-3)(4.5,5.5)
\psaxes{->}(0,0)(-4.5,-1.5)(4.5,5.5)
\psdots[linecolor=blue,linewidth=0.4mm](-4,1)(2,-1)(0.732,5.196)
\pspolygon[linecolor=blue,linewidth=0.4mm](-4,1)(2,-1)(0.732,5.196)
\psline[linewidth=0.4mm]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=0.4mm]{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{u}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{v}$}
\uput[ur](0,0){$O$}
\uput[dl](-4,1){\textcolor{blue}{$A$}}
\uput[d](2,-1){\textcolor{blue}{$B$}}
\uput[u](0.732,5.196){\textcolor{blue}{$C$}}
\end{pspicture}
\end{center}
